Este é um exercício sobre Máxima Verossimilhança, utilizando os dados de presença e ausência.

Objetivos:

i) Obter estimativa de parâmetros psi e p com base em método de máxima verosimilhança;

ii) Representar graficamente a superfície de verosimilhança.

1) Construa uma base de dados fictícia. Dicas de comandos: rbind.

• Esta base de dados pode ser compreendida como uma matriz [i,j], com número i de linhas e j de colunas.
  
• Como tratam-se de dados de presença e ausência, vamos representar as ausências por zeros, e as presenças por um.
  

2) Pensar em um modelo simples de ocorrência com dois parâmetros:

• psi é a probabilidade de ocorrência, relativa aos locais (LINHAS);
  
• p é a detecção (condicionada à ocorrência), relativa ao momento da amostragem (COLUNAS);
  
• Declarar dois objetos, um para representar o número de linhas da matriz e outro para o número de colunas. Dicas de comandos: dim, ncol, nrow.
  

3) Declarar dois vetores para possíveis valores de psi e p. Dicas de comandos: seq.

• Lembrem-se de que as probabilidades psi e p variam entre 0 e 1.
  

4) Declarar uma matriz para guardar os valores de verossimilhança para cada combinação de psi e p. Dicas de comandos: matrix, rep.

• Esta será uma matriz em que o número de células será equivalente ao número de interações entre os valores criados para psi e para p. Isto é, o número de valores de psi multiplicado ao número de valores de p equivale ao número de células.
  

5) Calcular valores de verosimilhança para cada par de combinação de psi e p. Dicas de comandos: for, if else.

• 5.1) um for para passar por psi
  
• 5.2) um for (dentro do anterior) para passar por p
  
• 5.3) crie índices para chamar os valores de psi e p dentro dos loops for
  
• 5.4) crie um vetor para guardar os valores de verossimilhança das linhas
  
• 5.5) mais um for para calcular os componentes de verossimilhança correspondentes a cada linha (em cada combinação de psi e p) - <color blue>aqui é que entram as formulinhas</color>
  
• 5.6) use if else. Lembrem-se de que linhas em que tudo é zero levam a uma formulinha diferente das linhas que têm pelo menos uma observação
  
• 5.7) obtenha o valor de verossimilhança dos dados para a combinação corrente de psi e p com base no resultado das formulinhas para cada linha (não esqueça dos logaritmos)
  

6) Selecione, na matriz em que você guardou os dados de verossimilhança, os valores dos parâmetros psi e p que maximizam a ocorrência dos dados.Dicas de comandos: which.

7) Faça uma representação gráfica dos valores de verossimilhança encontrados para cada combinação de psi e p. Dicas de comandos: contour.

8) Adicione no gráfico o ponto de coordenadas (psi,p), correspondentes aos valores dos parâmetros psi e p que maximizam a ocorrência dos dados. Dicas de comandos: abline.