Um instrumento importante nas análises matriciais é entender como as probabilidades de transição e permanência de cada classe afeta o crescimento da população. Saber quais as taxas vitais que são mais importantes para a estabilização da população ou para o seu crescimento é uma ferramenta poderosa, tanto para o entendimento de diferentes estratégicas de história de vida como para o manejo de populações ameaçadas, ou mesmo para o uso sustentável de recursos vegetais. Ambos os parâmetros medem a contribuição de cada elemento da matriz de transição para a composição do lambda (a taxa de crescimento). Entretanto, a sensibilidade mede a contribuição absoluta, enquanto a elasticidade é uma medida relativa dessa contribuição. Nesse exercício vamos utilizar um método intuitivo (perturbação da matriz) para o cálculo da contribuição para a taxa de crescimento de cada probabilidade na matriz. Esse método é chamado por alguns autores como “the easy brute force method”. Existem métodos mais robustos e com respostas mais exatas, mas os cálculos são mais complexos e menos intuitivos (veja o texto da leitura obrigatória dessa aula).

Basicamente, o que faremos é variar um pouco cada um dos valores da matriz de transição de cada vez e ver como a taxa de crescimento assintótica (lambda) se modifica. Uma recomendação para o método é perturbar os elementos da matriz em 5% (ou menos) e comparar com a variação ocasionada no lambda. Vamos fazer isso para a matriz de Coryphanta robbinsorum e depois aplicar para a população do palmito (abra as planilhas : Cactus e Palmitos

• 1.1. Copie a matriz da população do cactus Coryphantha robbinsorum e cole na mesma planilha logo abaixo. Refaça os passos de multiplicação da matriz como no exercício 1, tanto para a matriz original quanto para a cópia até a estabilização do lambda.
• 1.2. Na cópia, produza uma perturbação na probabilidade de permanência na classe 1 de 5% : coloque na célula correspondente a fórmula “ ==C4*0.95”, sendo C4 a permanência na matriz original. Projete a população até a estabilização do lambda.
• 1.3. Divida as diferenças dos lambdas pela diferença dos dois valores da permanência na classe 1 (perturbado original ) . Pronto: calculamos a Sensibildade da probabilidade de permanência na classe 1:

$$ S_(1,1) = (lamb_(pert) - lamb_(orig))/(a_(pert)(1,1) - a_(orig)(1,1)) $$

• 1.4. Para o cálculo da elasticidade é só dividir cada diferença da fórmula acima pelo valor original para que as diferenças sejam expressas em proporção. Uma alternativa é multiplicar o valor de Sensibilidade pela razão taxa original pelo lambda original:

$$ (a_(orig)(1,1))/ (lamb_(orig)) $$

Portanto, temos a elasticidade como:

$$ E_(1,1) = S_(1,1) * (a_(orig)(1,1))/ (lambda_(orig)) $$

• 1.5. Faça isso para cada um dos elementos da matriz de transição independentemente e produza uma tabela com os valores de elasticidade e sensibilidade. Lembre-se que ao perturbar um elemento da matriz, os outros devem estar com seu valor original.

• 2.1. Qual o ponto vulnerável da população de palmitos? Escolha os dois elementos da matriz de palmito que lhe parecem o mais importante e o menos importante para a viabilidade desta população. Calcule a sensibilidade e a elsaticidade destes dois elementos.

<box 80%| CURIOSIDADE: estudo de elasticidade em populações de baleias> Esta é pra você que gosta mais dos bichos. Há um trabalho muito bacana do Caswell com uma população de baleias. É um ótimo exemplo de aplicação da elasticidade. Para acessar o artigo na íntegra entre em http://ecologia.ib.usp.br/bie5786/lib/exe/fetch.php?media=bie5786:nature2001fujiwara.pdf. </box>