Determine o resultado das seguintes integracoes:

a) $ \int \sin(x) dx$

b) $ \int x^2 +1 dx$

c) $ \int _0^1 \cos (x) dx$

d) $ \int _{-1}^5 x^3 +2x dx$

e) $ \int _1 ^ \infty \frac{1}{x^2}dx$

Em algumas espécies o principal fator que leva a dispersao das sementes e o vento. E possivel modelar a distribuicao das sementes em funcao da distancia da fonte mecanisticamente, e uma das expressoes, para ventos unidirecionais, que podem ser derivadas e

* $ Q(x) = \frac{N_0W_s}{\sqrt{2\pi}\bar u \sigma_z} \exp \left[ - \frac{ (H-W_sx/\bar u)^2 } {2 \sigma_z^2} \right], x>0 $

Os parametros dessa equacao sao:

* $N_0$: a taxa de producao de sementes na fonte

* $\sigma_z$: o componente vertical da variancia no movimento aleatorio da semente

* $W_s$: a velocidade de fixacao da semente

* $\bar u$: velocidade media do vento

* $H$: altura da fonte

(Okubo & Levin, 1989)

1) Vamos encontrar qual e o total de sementes que uma arvore dispersa em um raio de 1m. Para isso, integre a funcao $Q(x)$ entre 0 e 1. Use $N_0 = 100$, $\sigma_z = W_s = \bar u = H = 1$.

2) Qual e a expressão que, para uma certa distancia $d$, da o total de sementes dispersadas entre 0 e d?

* (Nota: ERF? Leia sobre essa funcao esquisita aqui )

3) Mudemos agora nosso ponto de vista. Numa expedição de reconhecimento matemático pelo eixo x, intrépidos exploradores encontraram uma vasta e densa floresta, que se estende do ponto A ate o longínquo ponto B, composta por N fontes de sementes homogeneamente distribuidas. E possivel construir uma funcao que nos de a taxa te fixacao de sementes em cada ponto do eixo? (Como temos um modelo de vento unidirecional, suponha que venta de A para B)

4) E possivel quantificar a taxa de emigracao dessa floresta (a taxa de sementes que se fixam para alem de B)?

5) Como ficaria a expressao construida em 3 se a floresta, ao inves de ser homogenea, tivesse suas fontes distribuidas seguindo uma normal?

6) E se ventasse metade do tempo para cada lado, como ficaria a expressao em 3?

7) Usando a expressao obtida em 6, e o teorema fundamental do calculo, descubra o ponto em que se fixa o maior numero de sementes.