Nessa aula teremos apenas três exercícios que devem ser entregues no dia 14 de maio. Veja informações na página dos Alunos 2012 para saber como fazê-lo.

Para as funções que diferenciamos na mão durante a aula, (1) confira o resultado no Maxima,(2) produza um gráficos lado a lado da função e sua derivada, no intervalo definido.

1. intervalo: -1 a +1
   • $f(x)=exp(x)+x^7$
2. intervalo: -10 a +10
   • $ f(x) = x + sin(x) $
3. intervalo: -1 a +1
   • $ f(x) = 5x^3 + 2$
4. intervalo: -10 a +10
   • $ f(x) = cos(x) + sin(x)$
5. intervalo: -100 a +100
   • $ f(x) = x^2 + x^3cos(x)$
6. intervalo: 0 a +2
   • $ f(x) = exp(x) ln(x) $
7. intervalo: -50 a +50
   • $ f(x) = x^5sin(x) $
8. intervalo: -1 a +1
   • $ f(x) = \frac{1}{x} $
9. intervalo: -1 a +1
   • $ f(x) = \frac{1}{x^2} $
10. intervalo: -1 a +1
    • $ f(x) = \frac{exp(x)}{x} $
11. intervalo: 1 a +20
    • $ f(x) = \frac{sin(x)}{x^2}$

<box 80% green |Dicas> Veja um exemplo de código abaixo:

############
# 1. f(x)=5x^2+4 
############
par (mfrow=c(1,2))
f1=function(x){5*x^2 +4}
curve(f1,-1,+1)
## derivada
df1=function(x){10*x}
curve(df1,-1,+1)
############

</box>

A baleia-bicuda-de-cuvier (Ziphius cavirostris) parece ter sua área de alimentação associada a inclinação e profundidade do assoalho marinho. Para estudar essas baleias um pesquisador hipotético ¹⁾ definiu um transecto de 5 Km (Oeste → Leste), a partir da costa, onde estudou o comportamento da Baleia.

Os dados de profundidade foram medidos nas seguintes distâncias (Km) do transecto:

dist=c(0,0.5, 1, 1.35, 1.72, 2.05,2.4, 3, 3.3, 3.77, 4, 4.5, 5 )
prof=c(-0.1, -0.5, -0.98, -1.12, -1.4, -.95, -1.05, -1.9, -2.33, -2.88, -2.85, -2.1, -2.2)

Para definir um modelo de profundidade o pesquisador usou uma expressão polinomial de sexto grau:

mod.prof<-lm(prof~dist + I(dist^2) + I(dist^3) + I(dist^4) + I(dist^5) + I(dist^6)) 
  

O que resultou no seguinte modelo da profundidade (prof) em função da distância da costa:

$$ prof= -0.103 + 1.226d - 6.823d^2 + 7.194d^3 - 3.130d^4 + 0.599d^5 + -0.042d^6 $$

O gráfico abaixo representa os dados e o modelo ajustado a eles:

  dist=c(0,0.5, 1, 1.35, 1.72, 2.05,2.4, 3, 3.3, 3.77, 4, 4.5, 5 )
  prof=c(-0.1, -0.5, -0.98, -1.12, -1.4, -.95, -1.05, -1.9, -2.33, -2.88, -2.85, -2.1, -2.2)
plot(prof~dist)
mod.prof<-lm(prof~dist + I(dist^2) + I(dist^3) + I(dist^4) + I(dist^5) + I(dist^6))
mod.prof$coefficients
plot(prof~dist,main="Transecto", ylab="Profundidade", xlab="Distância da Costa", pch=19, col="red", cex.axis=1.2, cex.lab=1.2, bty="l")
xdist=seq(0,5, by=0.001)
lines(xdist, predict(mod.prof,newdata=data.frame(dist=xdist)),  type="l", lty=2)
savePlot(file="grafTrans.png", type="png")

• 1. Calcule a função da inclinação do terreno em relação à distância da costa.
• 2. Produza o gráfico (1) da profundidade em relação à distância da costa e (2) da sua derivada em relação à distância, coloque-as lado a lado e estabeleça a relação de ambos com as características do ambiente.
• 3. Uma hipótese é que a baleia concentre esforço de forrageio em profundidades intermediárias (entre 1Km e 1,5Km) em terrenos com inclinações negativas. Se essa hipótese estiver correta, onde vc. espera encontrar mais baleias ao longo da transecção? Qual a diferença entre uma inclinação negativa e positiva, nesse caso específico, relacionado ao ambiente?