Nessa aula teremos apenas dois exercícios que devem ser entregues no dia 09 de maio.

Para as funções que diferenciamos na mão durante a aula, (1) confira o resultado no Maxima,(2) produza um gráficos lado a lado da função e sua derivada, no intervalo definido.

1. intervalo: -1 a +1
   • $f(x)=exp(x)+x^7$
2. intervalo: -10 a +10
   • $ f(x) = x + sin(x) $
3. intervalo: -1 a +1
   • $ f(x) = 5x^3 + 2$
4. intervalo: -10 a +10
   • $ f(x) = cos(x) + sin(x)$
5. intervalo: -100 a +100
   • $ f(x) = x^2 + x^3cos(x)$
6. intervalo: 0 a +2
   • $ f(x) = exp(x) ln(x) $
7. intervalo: -50 a +50
   • $ f(x) = x^5sin(x) $
8. intervalo: -1 a +1
   • $ f(x) = \frac{1}{x} $
9. intervalo: -1 a +1
   • $ f(x) = \frac{1}{x^2} $
10. intervalo: -1 a +1
    • $ f(x) = \frac{exp(x)}{x} $
11. intervalo: 1 a +20
    • $ f(x) = \frac{sin(x)}{x^2}$

<box 80% green |Dicas> Veja um exemplo de código abaixo:

############
# 1. f(x)=5x^2+4 
############
par (mfrow=c(1,2))
f1=function(x){5*x^2 +4}
curve(f1,-1,+1)
## derivada
df1=function(x){10*x}
curve(df1,-1,+1)
############

</box>

A baleia-bicuda-de-cuvier (Ziphius cavirostris) parece ter sua área de alimentação associada a inclinação e profundidade do assoalho marinho. Para estudar essas baleias um pesquisador hipotético (Não é um pesquisador de hipóteses!), definiu um transecto de 5 Km a partir da costa onde estudou o comportamento da Baleia e sua ocorrência nas diferentes profundidades e inclinações do assoalho marinho.

Os dados de profundidade foram medidos nas seguintes distâncias (Km) do transecto:

dist=c(0,0.5, 1, 1.35, 1.72, 2.05,2.4, 3, 3.3, 3.77, 4, 4.5, 5 )
prof=c(-0.1, -0.5, -98, -1.12, -1.4, -.95, -1.05, -1.9, -2.33, -2.88, -2.85, -2.1, -2.2)

Para definir um modelo de profundidade o pesquisador usou uma expressão polinomial de sexto grau:

mod.prof<-lm(prof~dist + I(dist^2) + I(dist^3) + I(dist^4) + I(dist^5) + I(dist^6)) 
  

O que resultou no seguinte modelo da profundidade (prof) em função da distância da costa:

$$ prof= -0.103 + 1.226d - 6.823d^2 + 7.194d^3 - 3.130d^4 + 0.599d^5 + -0.042d^6 $$

O gráfico abaixo representa os dados e o modelo ajustado a eles:

prof=c(-0.1, -0.5, -,98, -1.12, -1.4, -.95, -1.05, -1.9, -2.33, -2.88, -2.85, -2.1, -2.2)
dist=c(0,0.5, 1, 1.35, 1.72, 2.05,2.4, 3, 3.3, 3.77, 4, 4.5, 5 )
plot(prof~dist)
mod.prof<-lm(prof~dist + I(dist^2) + I(dist^3) + I(dist^4) + I(dist^5) + I(dist^6))
mod.prof$coefficients
plot(prof~dist,main="Transecto", ylab="Profundidade", xlab="Distância da Costa", pch=19, col="red", cex.axis=1.2, cex.lab=1.2, bty="l")
xdist=seq(0,5, by=0.001)
lines(xdist, predict(mod.prof,newdata=data.frame(dist=xdist)),  type="l", lty=2)
savePlot(file="grafTrans.png", type="png")

• 1. Calcule a função da inclinação do terreno em relação à distância da costa.
• 2. Produza o gráfico (1) da profundidade em relação à distância da costa e (2) da sua derivada em relação à distância, coloque-as lado a lado e estabeleça a relação de ambos com as características do ambiente.
• 3. Uma hipótese é que a baleia concentre esforço de forrageio em profundidades intermediárias (até 2Km) em terrenos com maiores inclinações. Se essa hipótese estiver correta, onde vc. espera encontrar mais baleias nesse transecto. Parta da premissa que durante o período de estudo as baleias passavam a maior parte do seu tempo se alimentando.