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Integração Numérica do Crescimento Logístico
A regessão logística é uma equação diferencial ordinária. Podemos resolver essa equação para um dado intervalo de tempo utilizando integração numérica. A técnica consiste basicamente em transformar os passos infinitamente pequenos do cálculo (dx) em passos muito pequenos, porém finitos. O pacote deSolve do R contém a função ode que faz o serviço por nós! Abaixo descrevemos um função básica para integração numérica da função logística. Precisamos primeiro definir a função básica, no caso uma logística contínua.
Vamos usar a função do livro do Gotelli (equação 2.1, pag. 28 )
# função de crescimento logístico
clogistico<-function(tempo, y, parms)
{
n<-y[1]
r<-parms[1]
K<-parms[2]
dN.dt<-r* n* (1- n/K)
return(list(c(dN.dt)))
}
Vamos agora especificar os parâmetros dessa função
parametros=c(r=1,K=100)
N0= 1
st=seq(0.1,10, by=0.1)
Agorar utilizando o pacotes deSolve para a integração numérica dessa função
library(deSolve)
res<-ode(y=N0, times=st, clogistico, parms=parametros)
str(res)
Agora só falta fazer o gráfico:
plot(res[,1], res[,2], main="Crescimento Logístico", type="l", xlab="Tempo", ylab="N", col="red" )
legend("topleft", "N0=1;r = 1; K = 100", bty="n")
Exercícios
1. Faça o gráfico de duas populações (a e b) com crescimento logístico, ambas com mesma taxa de crescimento(r=0,10) e mesma capacidade suporte (K= 100), porém com tamanhos iniciais diferentes (N0_a=5, N0_b=200).
Estocasticidade Ambiental
Vamos partir da equação logística acima e sua solução integração numérica para criar uma situação com estocasticidade ambiental. Nessa função teremos três parâmetros:
clogEst <- function(times,y, parms)
{
n<-y[1]
r<-rnorm(1,mean=parms[1],sd=sqrt(parms[2]))
K<-parms[3]
dN.dt<-r* n* (1- n/K)
return(list(c(dN.dt)))
}
y0 = c(1)
prmt=c(rmedio=0.1, varr=0.1, K=10)
st=seq(0.1,200,by=0.01)
res.clogEst= ode(y=y0,times=st, func=clogEst,parms=prmt)
plot(res.clogEst[,1], res.clogEst[,2], type="l", col="red",lwd=2, xlab="tempo", ylab="y")
Crescimento Logístico com Retardo
O crescimento logístico com retardo pode ter trajetórias muito complexas, como vimos nos modelos logísticos com crescimento discreto.
Vamos simular algumas trajetórias para esses modelos contínuos com retardo. A solução numérica de uma equação diferencial não é trivial! Para tanto vamos usar o pacote PBSddsolve do R.
require(PBSddesolve)
clogDelay <- function(t,N,parms)
{
if (t < parms[3])
lag <- parms[4]
else
lag <- pastvalue(t - parms[3])
n<-lag
r<-parms[1]
K<-parms[2]
dN.dt<-r* n* (1- n/K)
return(list(c(dN.dt)))
}
#defina os valores da iniciais da população e os parâmetros
N0= 10
parametros=c(r=3.7,K=100, retardo=0.5, initial=N0)
# solucione a derivação numérica com retardo
pop <- dde(y=N0,times=seq(0,100,0.1),func=clogDelay ,parms=parametros)
# veja a estrutura do objeto que guardou os resultados
str(pop)
# faça um gráfico
plot(pop$t, pop$y1, type="l", col="red", xlab="tempo", ylab="Numero de indivíduos", main="Crescimento Logistico com retardo")