Neste exercício vamos projetar o crescimento exponencial em tempo discreto de duas formas diferentes: sem estocasticidade demográfica(determinístico) e com estocasticidade demográfica.

Ao contrário dos exercícios anteriores, onde aplicamos diretamente as fórmulas do Gotelli (2007), neste vamos usar as taxas de natalidade(b) e de mortalidade (d) para projetar as populações. Ou seja, iremos usar as taxas b e d para estimar quantos indivíduos nascem e quantos morrem em cada passo no tempo.

Na primeira parte faremos isso de forma determinística, onde os valores b e d determinam o crescimento da população. Na segunda parte adicionaremos incerteza nos valores b e d, ou seja, o crescimento será com estocasticidade, como se em cada passo, cada indivíduo estivesse lançando uma moeda para decidir se ele sobrevive e se ele se reproduz.

Por fim, iremos fazer um gráfico que mostra o crescimento determinístico e o crescimento estocástico, para que possamos compará-los. Olhe também os valores apresentados no final da execução da função e note como a diferença entre taxa base e taxa realizada varia com o tamanho da população, tanto para b como para d.
Testar com b=0.14, d=0.08, No = 100, tmax= 50

• 1. determine quais os argumentos da função:

 stocdem <- function(No,b,d,tmax) 
{

}

• 2. crie o objeto onde guarda a projeção das populações: uma tabela com três colunas preenchidas com zeros

 STOCD <- matrix(rep(0, tmax,3) 

• colocar tempo na primeira coluna, e o tamanho inicial na primeira linha da segunda e terceira colunas.
  

• 3. Agora é preciso criar uma matriz com 10 colunas e tmax linhas. Nas colunas colocaremos os seguintes valores: N(t), número de mortes, número de nascimentos, taxa de mortalidade e taxa de natalidade para as duas projeções de crescimento.

registro <- matrix(0,tmax,10) 

• 4. Coloque nomes nas linhas e colunas da matriz de registros e o valor inicial do tamanho populacional para as duas simulaçoes:

rownames(registro) <- seq(0:tmax)
colnames(registro) <- c("Ndt", "mort.dt", "nasc.dt", " d.dt", "b.dt", "N.st", "mort.st", "nasc.st", "d.st", "b.st")
registro[1,1] <- No 
registro[1,6] <- No

• 5. Faça os cálculos para a projeção determinística
  

for (t in 1:tmax) 
{

}

• 5.1) Salve o tamanho populacional no tempo anterior, chame de pastN.
  
• 5.2) Calcule o número de mortes (d*pastN), chame de “mortes”.
  
• 5.3) Calcule o número de nascimentos (b*pastN), chame de “nascim”.
  
• 5.4) Coloque o novo tamanho populacional no tempo t+1 na segunda coluna da matriz STOCD, que será o N anterior mais os nascimentos menos as mortes.
  

STOCD[t+1,2]<-(pastN + nascim - mortes)

• 5.5. Também coloque o novo tamanho populacional no tempo t+1 na segunda coluna da matriz de registros. Use um if(), para que esse passo seja realizado apenas enquanto t for menor que tmax.

if (t<tmax) 
{
}

• 5.6 Agora coloque o número de mortes, o número de nascimentos e as taxas de mortalidade e de natalidade na matriz de registros:
  

registro[t,2] <-mortes

registro[t,3] <- nascim

registro[t,4] <- d

registro[t,5] <- b

• 6. Agora faça os cálculos para a projeção estocástica
  

for (t in 1:tmax) 
{
}

• 6.1. Salve o N anterior.
  

pastN ← ??

mortes ← 0 ## Crie um objeto que receberá o número de mortes

nascim ← 0 ## Crie um objeto que receberá o número de nascimentos

• 6.2) Neste exercício nós precisamos criar um procedimento que avalie, ao acaso, se ocorrerá uma morte ou se o organismo continua vivo. Faremos o mesmo para saber se haverá um novo nascimento ou não. Use um for() que passe por todos os organismos que estejam vivos, ou seja,“pastN”.
  

<box blue 25% round> for (i in 1:pastN) {
</box>

• 6.2.1) Gere um número aleatório uniforme para mortalidade
  

<box blue 25% round> m ← runif(1,min=0,max=1)
</box>

• 6.2.2) Gere um número aleatório uniforme para natalidade
  

<box blue 25% round> n← runif(1,min=0,max=1)
</box>

• 6.2.3) Agora vamos ver se houve uma morte e um nascimento usando um if(). Ou seja,se o número aleatório da mortalidade for menor que “d”, a taxa de mortalidade, haverá uma morte. O mesmo para a natalidade , se o número aleatório da natalidade for menor que “b”, a taxa de natalidade, haverá um novo nascimento. Faça assim no R:
  

<box blue 25% round> if (n<b) {nascim ← nascim+1}
if (m<d) {mortes ← mortes+1}
}
</box>

• 6.3) Agora faça os cálculos para projetar a população.
  

newN ← ??

• 6.4) Crie uma condição, usando if(), para colocar o newN na matriz apenas se o valor for maior que zero, pois não existe população com valor negativo.
  

<box blue 80% round> if (newN>0) {STOCD[t+1,3] ← newN} ## Para colocar o valor na matriz STOCD
if (t<tmax & newN>0) {registro[t+1,6] ← newN} ## Para colocar o valor na matriz registro
</box>

6.5) Agora coloque o número de mortes, o número de nascimentos, e as taxas de mortalidade e natalidade na matriz registro:

registro[t,7] ← ??

registro[t,8] ← ??

registro[t,9] ← ??/??

registro[t,10] ← ??/??

if (newN⇐0) break # Isso irá interromper o processo (o for()) caso a população atinja 0.

}

7) Representação gráfica

<box blue 100% round> par(mfrow=c(1,1))
plot(STOCD[,1],STOCD[,2],type=“l”, lty=2, xlab=“tempo (t)”,ylab=“tamanho da população (N)”, ylim=c(0,max(STOCD[,2:3])),main=“Estocasticidade Demográfica”)
lines(STOCD[,1],SoTOCD[,3])
legend(“topleft”,c(“proj determinística”,“proj estocástica”),lty=2:1)
</box>

8) Agora vamos criar uma série de comandos pra retornar alguns valores.

• 8.1) Calcular média e variância das taxas de mortalidade e natalidade, excluir as taxas de mortalidade e natalidade estocásticas correspondentes a população extinta.
  

<box blue 100% round> taxastoc ← registro[which(registro[,6]>0),9:10]
cat(“\nMortalidade determinística:\n”)
cat(“média = ”, mean(registro[,4]),“ var = ”,round(var(registro[,4]),3),“\n”)
cat(“\nMortalidade estocástica:\n”)
cat(“média = ”, mean(taxastoc[,1]),“ var = ”,round(var(taxastoc[,1]),3),“\n”)
cat(“\n”)
cat(“\nNatalidade determinística:\n”)
cat(“média = ”, mean(registro[,5]),“ var = ”,round(var(registro[,4]),5),“\n”)
cat(“\nNatalidade estocástica:\n”)
cat(“média = ”, mean(taxastoc[,2]),“ var =”,round(var(taxastoc[,2]),3),“\n\n”)
</box>

9) Sair e entregar o registro.

return(registro)

}

10) Teste sua função:

stocdem(100,0.14,0.08,50)

11) Varie o tamanho inicial da população e veja que quanto menor o tamanho da população inicial maior é a variabilidade de resultados possíveis. Repita várias vezes com os mesmos valores para ver o quanto os resultados podem variar.

Para ver uma das formas de fazer esse script, clique aqui.