Uma equação diferencial é uma equação cuja incógnita é uma função. Essa função aparece na equação sob a forma das suas derivadas.
Veja um exemplo de uma equação diferencial simples:
$$ \frac{dy(t)}{dt}= 2 y(t) $$
Essa equação pode ser lida como “qual é a função y(t) cuja derivada é igual a duas vezes ela mesma?”
Resolver uma equação dessas pode ser bastante trabalhoso.1) Mas se uma inspiração sobrenatural te disser que “a resposta é $\exp(2x)$”, nós podemos verificar que essa resposta está correta.
Se $y(t)=\exp(2x)$, a derivada de $y(t)$ é $2\exp(2x)$ (lembre da regra da cadeia), que é, de fato, duas vezes a própria $y(t)$.
Normalmente, escrevemos a EDO com a derivada de $y(t)$ do lado esquerdo. Um caso simples de EDO é aquele em que o lado direito não envolve a função $y$, e portanto depende só de $t$:
$$ \frac{dy(t)}{dt}= f(t) $$
Podemos solucionar essa equação da seguinte forma:
O que nos dá uma solução geral:
$$ y = \int{f(t) dt} $$
Um caso mais complicado é aquele em que a derivada da função depende tanto de $y$ como de $t$. Escrevemos:
$$ \frac{dy(t)}{dt}= f(y, t) $$
Vamos retomar esse caso na sessão de soluções numéricas.
Vamos usar o Maxima para resolver uma função simples para nós. Lembre-se da EDO da sessão anterior, mas agora vamos trocar a constante 2 por um parâmetro $r$:
$$ \frac{dy(t)}{dt} = r y(t)$$
Nossa equação verbalmente colocado é: a taxa de variação instantânea da nossa variável de interesse é proporcional a ela própria. Ou seja: quanto maior o valor de $y$, maior a taxa de crescimento!
Para resolver isso no Maxima, use
'diff(y(t),t)=r*y(t); ode2(%, y(t), t);
Essa equação parece familiar? Vamos resgatá-la mais a frente no curso: é a equação do modelo de crescimento populacional exponencial, a estrutura básica de muitos outro modelos. Faça o gráfico dessa função para $ r=0.2 $ e estado inicial igual a 10!
plot2d(10*exp(0.2*t),[t,0,20]);
Vamos pensar em outro caso, onde a taxa de variação instantânea é positiva e tende a zero quando o valor da nossa variável aproxima a um. Em outras aumenta muito quando o valor e pequeno e muito pouco quando o valor aproxima-se a um.
$$ f(x)=f(x)* (1-f(x)) $$
'diff(f(t),t)=f(t)*(1-f(t)); ode2(%,f(t),t);
Talvez não reconheça essa função, faça exponenciação de ambos os lados que ela parecerá mais simpática. Ela é a solução do exemplo anterior multiplicada por uma expressão que funciona como um freio que aperta mais forte conforme chega perto de um. Elá é a base dos modelos logísticos populacionais.
Essas primeiras equações diferencial foram fáceis de resolver no Maxima . Mas não se acostume, nem sempre é assim. Muitas equações não tem soluções algébricas2) e precisam ser resolvidas com métodos chamados de “força bruta”. São geralmente computacionalmente intensos, mas com um computador pessoal podemos fazer maravilhas…
O processo básico é bem simples, muito parecido com o que fizemos para resolver as derivadas, mas existem muitas outras técnicas mais robustas.
Ele é bastante simples, e consiste em fazer uma aproximação da curva usando as tangentes em diferentes pontos. Vamos pegar a função:
Como vimos:
Podemos usar um intervalo de tempo arbitrário, por exemplo 0.1, o que nós dá :
Ou seja, sendo que $N(0)=20$, no tempo 0.1, temos que:
No tempo 0.2, temos que:
E assim por diante ….
$\lim\limits_{x \to \infty} f(x)$
Note que quanto menor o intervalo de tempo que usamos melhor é a precisão da nossa aproximação, lembrando que $\Delta t → 0 $
Podemos repetir isso para os próximos intervalos de tempo no 
.
f <- function (N, t)
{
return (2*N)
}
# No tempo inicial, N vale 20:
N0 <- 20
# O passo de tempo eh dt. Vamos rodar ateh tmax
dt <- 0.1
tmax <- 2
euler <- function (f, N0, dt, tmax)
{
# res vai retornar o vetor com todos os Ns
res <- NULL
N <- N0
for (tempo in seq(0, tmax, dt))
{
N <- N + f(N,tempo)*dt
res <- rbind(res, N)
}
return (res)
}
# Examine a solucao numerica:
numerica <- euler(f, N0, dt, tmax)
x<- seq(0, tmax, dt)
# A solucao correta da EDO:
plot(x, 20*exp(2*x), typ='l', col='green')
# Vamos comparar com a solucao numerica
points(x, numerica, col='red', pch=4, ce=0.2)
A aproximação foi boa? Tente repetir o mesmo código com dt = 0.01 e 0.001 e compare.
Não precisamos fazer todo o procedimento anterior para fazer a integração numérica no 
, existem soluções implementadas previamente que são muito mais eficientes e robusta que a nossa.
Vamos integrar numericamente algumas equações usando o pacote deSolve e a função ode.
Antes de tudo precisa instalar e carregar o pacote. Para instalar você pode usar o menu do RGui ou pela linha de comando, digite:
install.packages("deSolve")
Carregando o pacote e olhando o help da função ode:
library(deSolve) ?ode
Muito bem! Agora que já temos o pacote carregado, vamos integrar numericamente algumas funções, ou seja, calcular o valor para cada tempo infinitesimal dentro de um amplitude de valores.
Vamos primeiro usar uma função simples:
$$ \frac{dy}{dt} = y-\frac{y^2}{K} $$
fy1 <- function(time,y,parms)
{
n=y[1]
K=parms[1]
dy.dt=n-(n^2/K)
return(list(c(dy.dt)))
}
prmt = 10 y0 = 1 st=seq(0.1,20,by=0.1)
res.fy1= ode(y=y0,times=st, fy1,parms=prmt) plot(res.fy1[,1], res.fy1[,2], type="l", col="red",lwd=2, xlab="tempo", ylab="y")
Será que a função ode fez mágica? Ela apenas usa um método parecido com o de Euler, que vimos acima, para achar a solução numérica de uma ode.
Agora nossa equação é:
$$\frac{dy}{dt}= y(ay^2 + by + r) $$
Veja o código abaixo:
fy2 <- function(time,y,parms)
{
n=y[1]
a=parms[1]
b=parms[2]
r=parms[3]
dy.dt=n*(a*n^2 + b*n + r)
return(list(c(dy.dt)))
}
prmt = c(a=-1,b=4, r=-1)
y0 = 1
st=seq(0.1,20,by=0.1)
res.fy2= ode(y=y0,times=st, fy2,parms=prmt)
plot(res.fy2[,1], res.fy2[,2], type="l", col="red",lwd=2, xlab="tempo", ylab="y")
Faça a integração numérica para as seguintes funções:
