Ao rodarmos varias vezes a função com os mesmo parâmetros os resultados finais serão diferentes, mas a tendência geral será a mesma em cada uma das repetições. Isso se deve ao fato da simulação envolver um processo estocástico visto que a cada rodada se sorteia ao acaso um número de manchas ocupadas para ficarem vazias e um número de manchas vazias para ficarem ocupadas. Como esse sorteio é ao acaso e com reposição, a quantidade de manchas que ficarão ocupadas num dado tempo pode variar de repetição para repetição, mas em média os resultados convergem para um mesmo valor, dado pelo ponto de equilibrio $F = \frac{p_i}{p_i+p_e}$

Quando o número de manchas é muito grande a variação da fração de manchas ocupadas ao longo do tempo é baixa, enquanto que se o número total de manchas é muito pequeno a variação é grande. Quanto maior o número de manchas na paisagem, menor será a variação estocástica na fração de manchas ocupadas.

Quando aumentamos muito as duas taxas, as oscilações ao redor do ponto de estabilidade vão diminuindo até atingirem um valor aparentemente estável. Contudo parecem haver pulsos em que a variação na fração de manchas ocupadas aumenta e diminuem. Não sei se isso é só um padrão aparente visualmente.

Com as probabilidades baixas, a variação parece ser mais homogênea em relação ao caso acima. A aproximação em direção ao ponto de estabilidade parece ser mais “continua” (crescente se a fração inicial está abaixo da fração de estabilidade ou decrescente caso contrário) se comparado com o caso das taxas altas, em que desde o inicio a fração de manchas ocupadas varia ao redor do ponto de estabilidade. Além disso, para o caso de taxas altas percebe-se que durante o transiente, há uma alta variância ao redor do valor de estabilidade, a qual vai diminuindo com o tempo até atingir uma variância estável também. Para as taxas baixas, esta variância parece ser mais constante durante toda a fase transiente. O que ocorre é que a fração de manchas ocupadas decai ou aumenta continuamente com o tempo e com uma variância mais ou menos constante.

Aproximando a condição inicial do ponto de estabilidade, o que ocorre é que o sistema converge para a condição de estabilidade exibindo variâncias menores em relação a quando as condições iniciais são muito diferentes da fração de estabilidade. Demora mais para o sistema convergir para a situação de equilibrio. Então, com $f_i$ muito diferente de $F$, a fase de transiente tende a ser maior.

As populações se extinguirão na paisagem somente se a taxa de imigração igualar 0.

A única diferença que percebo é que no modelo com imigração interna e dependente da proporção de manchas ocupadas o sistema converge mais rapidamente para o equilibrio estável (o qual é igual independente do modelo). Porém, há de se dizer que o modelo de colonização interna $F$ pode ser negativo dependendo dos valores de $i$ e $p_e$, aolgo que não ocorre com o modelo de chuva de propágulos. Mas mantendo as condições em que o sistema converge para um equilibrio diferente da extinção, o transiente será mais rápido para no modelo de colonização interna.

A posição das manchas não influencia nada neste modelo, uma vez que essas taxas não são função de alguma propriedade das manchas (característica estrutural, por exemplo). A única variável que afeta um dos parâmetros é o número de manchas total da paisagem, afetando a taxa de imigração. Um modelo mais realista poderia considerar a taxa de extinção como uma função da área da mancha e a taxa de imigração em função da distância entre as manchas (ou distância e área, dependendo da formulação; como nos modelos clássicos propostos por Ilka Hanski).

Algumas combinações levam para valores de $F$ negativos o que é impossível (proporção negativa de manchas ocupadas não existe). Mas essa situação é interpretada como extinção da metapopulação. Além disso, a taxa de imigração não pode ser nula, pois a equação $F=1-\frac {p_e}{i}$ não será resolvível. Por fim, se a taxa de extinção é 0, o sistema tende para ocupação total estável, o que é bem irreal em longo prazo.

Um $F$ negativo implica que a taxa de extinção é maior que $i$, a constante que determina o quanto aumentando a fração de manchas ocupadas,aumenta-se a taxa (probabilidade) de imigração. Desta forma, esse valor de $F$ indica que a metapopulação será extinta da paisagem. As taxas de extinção são muito elevadas e não equilibradas por imigrações colonizadoras. Isso faz com que a proporção de manchas ocupadas diminua com o tempo. Isso torna cada vez mais desbalanceada a relação extinção/colonização a favor de extinção, levando ao desaparecimento total da espécie na paisagem após um tempo.

Este padrão observado nos gráficos (reflexão atrasada) reflete o fato da taxa de extinção variar lineramente com a fração de manchas ocupadas no tempo. Quanto mais manchas ocupadas, mais manchas se tornam vazias no próximo instante, o que por sua vez reduz a taxa de extinção para esse novo instante do tempo, fazendo com que uma menor quantidade de manchas que ficam vazias no próximo tempo. Por isso o padrão invertido e defasado observado. O efeito na fração de manchas ocupadas sempre será sentido num instante posterior ao que determina a taxa de extinção deste instante.

Similar à questão anterior, $p_i$ é uma imagem espelhada de $p_e$, afinal ambas variam linearmente com a fração de manchas ocupadas, mas com inclinações opostas. Isso é mais evidente quando $i = e$ e melhor ainda quando eles são $ = 0.5$, já que frações negativas ou maiores que 1 não são permitidas (não fazem sentido).

Não existe de fato um equilibrio quando $e=i$. Este equilibrio é na realidade instável pois, dado tempo suficiente, a metapopulação no fim sempre convergirá para ocupação o total ou extinção total das manchas. Mas não se sabe a priori qual será o caminho de uma simulação. No entanto, podemos dizer que:

Quanto menor forem os valores desta igualdade ($i = e =$ valor pequeno), mais tempo demora para o sistema convergir para um dos estados

Se simularmos muitas vezes o mesmo cenário, espera-se que metade das simulações converjam para o estado de ocupação total e outra metade converja para o estado de extinção total. Em média seria como se metade das manchas ficassem sempre ocupadas.

Quando $i<e$ a metapopulação converge para extinção ($F=0$) e quando $i>e$ a metapopulação converge para ocupação máxima ($F=1$).