A solução numérica é uma aproximação da analítica porém não muito exata para valores de $N(t)$ que não estejam próximos de $K$ ou de 0. Ao contrário do que eu esperava intuitivamente, em todas as situações analisadas - mesmo naquelas em que $\Delta t$ foi considerado muito pequeno - a solução numérica desviou um pouco da solução analítica apresentada pelo Gottelli, mas ambas foram muito parecidas. Abaixo, estão os gráficos de algumas trajetórias de populações simuladas junto com a solução analítica.

O parametro r afeta em combinação com a variância (ou desvio padrão, se preferir). A variância determina o quão variável o valor de $r$ pode ser em relação ao seu valor médio. Portanto, quanto maior for a razão $\frac{\sigma^2_r}{\hat r}$, maior são as oscilações, já que o crescimento da população poderá variar bastante ao longo do tempo durante a fase de transiente, desviando consideravelmente o tamanho populacional do seu valor esperado deterministicamente. Assim, a populaçao possuirá uma probabilidade de se extinguir, que será tão maior quanto maior for a razão $\frac{\sigma^2_r}{\hat r}$.

O $\Delta t$ usado também afeta bastante, pois quanto menor for, menor a precisão das estimativas, em comparação com modelos em tempo continuo. Isso pode deixar o gráfico bastante irregular (altas oscilações sem padrão). Trata-se portanto de um outro tipo de variação dado por erros de estimativa numérica.

N0 não afeta a amplitude de oscilação, porém afeta a probabilidade de extinção da população por estocasticidade demográfica. Se a população é muito pequena, ela pode ir a 0 mais facilmente. Isso porque havendo estocasticidade, haverão períodos em que as taxas de crescimento são negativas, isto é, a população perde mais por mortalidade do que ganha por nascimentos. Se N0 é muito pequeno, períodos sucessivos de taxa de crescimento negativa levam rapidamente a população à extinção. Mas tudo depende da variância, pois quanto maior, maior será a chance de extinção. No modelo determinístico, a população tem três caminhos: Ou cresce até a capacidade de suporte do sistema ou decresce até se extinguir. Isso ocorrerá se r > 0 ou r < 0, respectivamente. Se r = 0, a população estabiliza em N0.

Portanto, extinções são possíveis apenas em modelos estocásticos e serão mais ou menos prováveis dependendo da combinação dos parâmetros do modelo ($\hat r$, $ \sigma^2_r$ e $N0$).



Figura 1 - Exemplo de aumento da oscilação dependendo da razão $\frac{\sigma_r}{\hat r}$. Dez simulações para cada valor de $\frac{\sigma^2_r}{\hat r}$ (0.2 em vermelho e 20 em preto). y = $N(t)$.



Figura 2 - Gráfico mostrando a possibilidade de extinção de uma população com crescimento logístico estocástico. A linha tracejada indica $N(t) = 1$. Em termos práticos, se o tamanho populacional estiver abaixo desta linha, a população estará extinta. Dez simulações para cada combinação de valores dos parâmetros. y = $N(t)$.

Nesses valores a dinâmica das populações seguem comportamentos diferentes. No primeiro caso ($r \tau <0.36$), a população cresce até atingir a capacidade de suporte, sem a ocorrência de oscilacões (fig.1). No segundo caso ($0.36 < r \tau < 1.57$), ocorrem oscilações amortecidas que convergem após algum tempo para $N(t) = K$. Ou seja, a amplitude de cada ciclo vai reduzindo até atingir $K$ (fig.2). Já no último caso ($r \tau > 1.57$), a população nunca estabiliza em $K$, mas fica oscilando ao redor deste valor (fig.3). Neste caso, quanto maior o valor de $r \tau $, maior será a amplitude das oscilações, podendo implicar em extinção da população se essa amplitude for muito grande (fig.4).

$$Fig. 1$$

$$Fig. 2$$

$$ Fig.3$$

$$ Fig.4$$

Essas relações se devem ao fato de que quando $r \tau$ é pequeno, significa que a taxa de crescimento é muito grande ou o tempo intrínseco de crescimento da população ($\frac{1}{r}$) é muito pequeno relativo ao tempo de retardo. Então a população atinge logo o ponto de estabilidade K, fazendo com que mesmo que a resposta seja atrasada, o tamanho da população não seja afetada. Isso porque é bastante provável que a população já se encontre próxima de K, independentemente do tempo de atraso. Já se $r \tau$ é muito grande, isso implica que o atraso é muito grande em relação à taxa de crescimento. Então, a população responderá ao seu tamanho em um tempo em que seu tamanho era bem diferente do atual. Isso leva a sucessivas ultrapassagens e quedas em relação a $K$, que tenderão a ser constantes ao redor de $K$. No caso intermediário, ocorre uma combinação em que o atraso vai sendo assimilado e a população em algum momento chega em $K$, de onde não sai.

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