Equações diferenciais ordinárias são equações cuja a incógnita é a uma função. Ela se chama ordinaria pois a função diferenciada possui apenas uma variável e é sobre ela que se aplica a diferenciação. Isso distingue esse grupo de outros tipos de equações diferenciais como, por exemplo, as equações diferenciais parciais, paras as quais são diferenciadas derivadas parciais. Simbolicamente, isso pode ficar mais claro.

EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (ODE)

$$ \frac{d}{dx}f(x)dx = Kf(x) $$

EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL (PDE)

$$ \frac{d}{dx}f(x,t)dx = f(x)g(x)$$

A equação diferencial em questão é:

Assim, pelo método de Euler podemos calcular o valor esperado de $N(t)$ em intervalos de tempo ($\Delta t$) regulares e plotar esses valores em função do respectivo tempo. Esse calculo se procede da seguinte forma:

$ \frac{d}{dt}N(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{N_{t+\Delta t} - N_t}{\Delta t}$

Como nesse limite $\Delta t \to 0$ devemos realizar o calculo para intervalos de tempo o menor possível. Quanto menor o $\Delta t$ maior precisão teremos na solução. Além disso, devemos considerar os valores iniciais dos parâmetros, neste caso $r$ e $N(t)$ para $t=0$ ($N(0)$ ou $N_0$). Esses valores no tutorial eram:

$N_0=20$ e $r=2$.

Desta forma a resposta para o exercício 1 encontra-se no gráfico abaixo (optei por mostrar graficamente ao invés de uma tabela; se necessário posso colocar isso no codigo de R utilizado neste exercício).




Código em R usado nesse exercício.

• 1) Sendo $ \frac{dm_1(t)}{dt} = -km_1(t)$ e $\frac{dm2(t)}{dt} = -[k_1 p + k_2 (1-p)] m_2(t)$ ,
  

$dm_1(t)=-km_1(t)dt$

$\int^m dm_1 = \int^t -km_1(t)dt$

$m_1(t)=\int -km_1(t)dt$

$$ m_1(t) = ue^{-kt}$$

em que $u$ é uma outra constante. Para demonstrar que esse calculo está correto fazemos o seguinte:

$\frac{dm_1(t)}{dt} = u(-k)e^{-kt}=-kue^{-kt} =$

$\frac{dm_1(t)}{dt} = -km(t)$

Para a segunda equação, podemos considerá-la como um caso especial da primeira em que:

$ k_1 p + k_2 (1-p) = k$. Então,

$m_2(t)=ue^{-kt}$

$$m_2(t) = ue^{-[k_1 p + k_2 (1-p)]}$$

Os exercícios 2, 3 e 4 mudaram durante o periodo que estive respondendo. A equação 3 foi modificada. Apresentarei as duas soluções.

• 2) Eq. 3a $= \frac{d}{dt}m(t) = f(t)$
  

$ dm(t)=f(t)dt$

$\int^m dm = \int f(t)dt$

Então, a solução geral da equação 3a é: $$m(t)=\int f(t)dt$$
Eq. 3b $= \frac{d}{dt}m(t) = f(t)m(t)$

Usando o Maxima, encontramos a solução geral para esta equação diferencial, que é: $$m(t)=\int f(t)m(t)dt = c e^{\int f(t)dt}$$

• 3a) $ m(t)=\int f(t)dt$

$m(t)= \int a+b$ e$^{-ht}dt$

$m(t)=\int adt + \int b$ e$^{-ht}dt$

$$m(t)= at - \frac{b}{h} e^{-ht}$$

• 3b) $ m(t)=\int f(t)m(t)dt = c $e$^{\int f(t)dt}$
  

$\frac{d}{dt}m(t) = m(t)(a+b$e$^{-ht})$ $$ m(t)=c e^{\int a+be^{-ht}dt}$$

• 4a) Esta etapa é o processo inverso para confirmar a solução da equação diferencial encontrada.
  

$m(t)= at - \frac{b}{h}$ e$^-ht$

$m(t)=g(t)-k(t)(h(j(t)))$

$ \frac{d}{dt}m(t)= g'(t) - k(t)[j'(t)h'(j(t))]-k'(t)(h(j(t))$

$\frac{d}{dt}m(t)= a + (-\frac{b}{h}(-h e^{-ht})) + 0=a+be^{-ht}$

• 4b) $\int a+be^{-ht}dt =$

$=\int adt +\int be^{-ht}dt =$

$=at + \int be^{-ht}dt =$
$$at -\frac{b}{h}e^{-ht}$$

$m(t)=c e^{\int a+be^{-ht}dt} = $

$$c e^{at -\frac{b}{h}e^{-ht}}$$

$\frac{d}{dt}m(t) = c (a+be^{-ht})e^{at -\frac{b}{h}e^{-ht}}$

$$\frac{d}{dt}m(t) = f(t)c e^{at -\frac{b}{h}e^{-ht}}=m(t)f(t)$$


A versão do exercício 2 com alguns calculos em Maxima, encontram-se neste arquivo: ODEs.wxm