A integral indefinida ou antiderivada de uma função é uma operação que resulta na função cuja derivada é a função integrada. Simbolicamente, pode-se representar a integral indefinida de seguinte forma:

$$ \int g(x)dx$$

Se $ g(x) = f'(x)$, então

• $$ \int f'(x)dx = f(x)$$

Já se definirmos um intervalo de $x$ (por exemplo $x∈[a,b]$) para o qual queremos calcular a integral, obtemos uma integral definida. Esta operação que será igual à somatória da integral em cada ponto do intervalo, o que corresponde à área sob uma determinada curva. Simbolicamente a integral definida é representada como:

• $$ \int _a^b f'(x)dx = \int ^b f'(x)dx - \int ^a f'(x)dx = f(b) - f(a)$$

Isso é o que temos (além de umas poucas regras básicas dadas em aula) para calcular as integrais do exercício 1, cujas soluções encontram-se abaixo.

$ f(x) = \int f'(x)dx $

$ f(x) = \int f'(x)dx $
$ f'(x) = g(x)+h(x)$ então,

$ \int g(x) + h(x)dx = \int g(x)dx +\int h(x)dx = \int x^2dx +\int 1dx = \int x^2dx + x$

$ \int _0^1 f'(x)dx = \int ^1 f'(x)dx - \int ^0 f'(x)dx = \int ^1 \cos(x)dx - \int ^0 \cos(x)dx$

$ \sin(1)-\sin(0)$

$\int x^3 +2x dx = \int x^3dx + \int 2xdx = \frac{x^4}{4} + x^2$
$\int ^5 x^3 +2x dx - \int ^{-1} x^3 +2x dx = (\frac{5^4}{4} + 5^2) - (\frac{-1^4}{4} + (-1)^2)$

$ \int \frac{1}{x^2}dx = \int x^{-2}dx = \frac {x^{-1}} {-1} = - \frac {1}{x}$
$ \int _1 ^ \infty \frac{1}{x^2}dx = \int ^ \infty \frac{1}{x^2}dx - \int ^ 1 \frac{1}{x^2}dx = - \frac{1}{\infty} + 1$

Considerando que $ \frac{1}{\infty} ≅ 0$

Como estamos integrando em $y$,

$ \int \sin ( x^{27} ) dy = \sin ( x^{27} ) \int dy = \sin ( x^{27} )y$
$ \int _0 ^ 1 \sin ( x^{27} ) dy = \sin ( x^{27} ) \int ^1 dy - \sin ( x^{27} ) \int ^0 dy = \sin ( x^{27} ) - 0$

As soluções para essas integrais podem ser visualizadas no aplicativo Maxima pelo arquivo abaixo:

• Integrais - Maxima

Este exercício foi bastante elucidativo!!! Valeu Pizza, Chalom e Sara!!!..

Antes de mostrar a resposta, gostaria de expor uma “viagem” que tive ao começar a solucionar esse problema. Logo de cara, ao olhar para a função apresentada percebi que ela era muito similar à normal. Então, comecei a substituir os valores dos parâmetros de $ Q(x)$ de tal modo que eu pudesse obter os valores dos parâmetros da distribuição normal correspondente. Veja como fiz:

$$ Q(x;N,W_s,\bar u,\sigma_z) = \frac{NW_s}{\sqrt{2\pi}\bar u \sigma_z} e^\frac{-(H-W_sx/\bar u)^2 } {2 \sigma_z^2} $$

Dado que a distribuição normal é igual a

$$ N(x;\sigma_n, \mu) = \frac{1}{\sigma_n\sqrt{2\pi}}e^\frac{-(x-\mu)^2}{2 \sigma_n^2}$$

Vamos ao exercício! A integral de $Q(x)$ é igual a $$\int Q(x)dx=\frac{N}{2}erf \left(\frac{xW}{\sqrt{2}\sigma_z\bar u}-\frac{H}{\sqrt{2}\sigma_z}\right)$$

• 1) $\int _{-1}^1 Q(x)dx = 50erf(\sqrt{2}) = 47.725 ≅ 48$ sementes
  

• 2) $ \int _{-\infty}^\infty Q(x)dx = 100$ sementes.
  

Esse resultado é de certa forma esperado, uma vez que a taxa de produção de sementes na fonte é 100. Como não há tempo nessa equação, só existem 100 sementes no sistema, não havendo nascimentos (produção de sementes) ou mortes. No entanto, fui curioso e tentei verificar se a mesma quantidade de semente que se estabelece à direita da planta, se estabelece à esquerda. Ao contrário do que eu esperava, isso não ocorre. Mas não sei porque… Veja o que eu encontrei:

$ \int _{-\infty}^0 Q(x)dx = \frac{N}{2} \left(1-erf\left(\frac{H}{\sqrt{2}\sigma_z}\right)\right)$
$ \int _0^{\infty} Q(x)dx = \frac{N}{2} \left(1+erf\left(\frac{H}{\sqrt{2}\sigma_z}\right)\right)$

Se tomarmos os valores do exemplo acima, teremos a seguinte resposta:

$\int _{-\infty}^0 Q(x)dx = 50\left(1-erf\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)=0.3173$
$ \int _0^{\infty} Q(x)dx =50\left(1+erf\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right))=1.6827$

• 3) $ \int _0^d Q(x)dx = \frac{N}{2}\left[erf \left(\frac{\sqrt{2}dW_s-\sqrt{2}\bar uH}{2\sigma_z\bar u}\right)-erf\left(\frac{H}{\sqrt{2}\sigma_z}\right)\right]$

• 1) $\int _{-1}^1 Q(x,0)dx = 50erf(\sqrt{2})$. Esse é exatamente o resultado esperado.

• 2) $\int _0^2\pi Q(1,t)dt ≅ 250.6628 ≅ 251$ sementes.

Neste caso é correto dizer que densidade é igual a número de indivíduos, certo? É a densidade pontual, um conceito bastante abstrato!

• 3) $\int _{-1}^1 Q(x,t)dx = h(t) = 50(sin(t)+1)erf(\sqrt{2})$

• 4) $\int _0^2\pi \int _{-1}^1 Q(x,t)dxdt = \int_0^2\pi h(t)dt =100\pi erf(\sqrt{2})≅299.8649≅300$ sementes.

As soluções das integrais dos exercícios 2 e 3 no Maxima estão no arquivo abaixo.

Integrais.

Não tive tempo para resolvê-lo, mas certamente olharei com carinho e tentarei resolver assim que der. Estou bem empolgado!!!