A integral indefinida ou antiderivada de uma função é uma operação que resulta na função cuja derivada é a função integrada. Simbolicamente, pode-se representar a integral indefinida de seguinte forma:

$$ \int g(x)dx$$

Se $ g(x) = f'(x)$, então

• $$ \int f'(x)dx = f(x)$$

Já se definirmos um intervalo de $x$ (por exemplo $x∈[a,b]$) para o qual queremos calcular a integral, obtemos uma integral definida. Esta operação que será igual à somatória da integral em cada ponto do intervalo, o que corresponde à área sob uma determinada curva. Simbolicamente a integral definida é representada como:

• $$ \int _a^b f'(x)dx = \int ^b f'(x)dx - \int ^a f'(x)dx = f(b) - f(a)$$

Isso é o que temos (além de umas poucas regras básicas dadas em aula) para calcular as integrais do exercício 1, cujas soluções encontram-se abaixo.

$ f(x) = \int f'(x)dx $

$ f(x) = \int f'(x)dx $
$ f'(x) = g(x)+h(x)$ então,

$ \int g(x) + h(x)dx = \int g(x)dx +\int h(x)dx = \int x^2dx +\int 1dx = \int x^2dx + x$

$ \int _0^1 f'(x)dx = \int ^1 f'(x)dx - \int ^0 f'(x)dx = \int ^1 \cos(x)dx - \int ^0 \cos(x)dx$

$ \sin(1)-\sin(0)$

$\int x^3 +2x dx = \int x^3dx + \int 2xdx = \frac{x^4}{4} + x^2$
$\int ^5 x^3 +2x dx - \int ^{-1} x^3 +2x dx = (\frac{5^4}{4} + 5^2) - (\frac{-1^4}{4} + (-1)^2)$

$ \int \frac{1}{x^2}dx = \int x^{-2}dx = \frac {x^{-1}} {-1} = - \frac {1}{x}$
$ \int _1 ^ \infty \frac{1}{x^2}dx = \int ^ \infty \frac{1}{x^2}dx - \int ^ 1 \frac{1}{x^2}dx = - \frac{1}{\infty} + 1$

Considerando que $ \frac{1}{\infty} ≅ 0$

Como estamos integrando em $y$,

$ \int \sin ( x^{27} ) dy = \sin ( x^{27} ) \int dy = \sin ( x^{27} )y$
$ \int _0 ^ 1 \sin ( x^{27} ) dy = \sin ( x^{27} ) \int ^1 dy - \sin ( x^{27} ) \int ^0 dy = \sin ( x^{27} ) - 0$

As soluções para essas integrais podem ser visualizadas no aplicativo Maxima pelo arquivo abaixo:

• Integrais - Maxima

Este exercício foi bastante elucidativo!!! Valeu Pizza, Chalom e Sara!!!..

Antes de mostrar a resposta, gostaria de expor uma “viagem” que tive ao começar a solucionar esse problema. Logo de cara, ao olhar para a função apresentada percebi que ela era muito similar à normal. Então, comecei a substituir os valores dos parâmetros de $ Q(x)$ de tal modo que eu pudesse obter os valores dos parâmetros da distribuição normal correspondente. Veja como fiz:

$$ Q(x;N,W_s,\bar u,\sigma_z) = \frac{NW_s}{\sqrt{2\pi}\bar u \sigma_z} e^\frac{-(H-W_sx/\bar u)^2 } {2 \sigma_z^2} $$

Dado que a distribuição normal é igual a

$$ N(x;\sigma_n, \mu) = \frac{1}{\sigma_n\sqrt{2\pi}}e^\frac{-(x-\mu)^2}{2 \sigma_n^2}$$

Vamos ao exercício! A integral de $Q(x)$ é igual a $$\int Q(x)dx=\frac{N}{2}erf \left(\frac{xW}{\sqrt{2}\sigma_z\bar u}-\frac{H}{\sqrt{2}\sigma_z}\right)$$

• 1) $\int _{-1}^1 Q(x)dx = 50erf(\sqrt{2}) = 47.725 ≅ 48$ sementes
• 2) $ \int _{-\infty}^\infty Q(x)dx = 0$ sementes.
  

Isso não é esperado pois significaria que nenhuma semente foi dispersa. Este efeito se deve ao fato de ao calcularmos esse integral indefinida, estamos computando também valores de possíveis sementes que seriam dispersas no sentido contrário ao do vento se este não estivesse operando. Ou seja, essa operação resultaria em uma media de sementes dispersas para a esquerda e para a direita da árvore

• 3) $ \int _0^\infty Q(x)dx = 2828.693(erf(1/2)+1)≅ 4301.027 ≅4301$ sementes