Este é um resumo da aplicação da Teoria da Amostragem a modelos de distribuição de abundância de espécies. Uma descrição mais detalhada, com um exemplo de dedução dos modelos, está em Prado (2009).

A formalização da teoria aplicada a SADs é de Pielou (1977) e Green & Plotkin (2007). Uma introdução geral a modelos hierárquicos está em Royle & Dorazio (2008)

Para descrever as abundâncias das espécies em uma amostra precisamos de um modelo hierárquico (sensu Royle & Dorazio 2008) que combine dois processos:

• A distribuição das abundâncias das espécies na comunidade.
• A amostragem da comunidade.

Com a premissa de que as abundâncias de cada espécie são variáveis aleatórias independentes e que seguem a mesma distribuição de probabilidades (uma i.i.d.), podemos descrevê-las com uma única função de distribuição probabilística.

As abundâncias das espécies são variáveis discretas, mas se aceitamos que na comunidade há uma grande quantidade de indivíduos, uma aproximação para uma variável contínua é razoável. Acrescentando esta premissa, nosso modelo para a distribuição de abundâncias das espécies na comunidade será uma a distribuição de probabilidades de uma variável aleatória contínua, uma função de densidade probabilística (pdf), que chamaremos de $$f(n)$$, sendo $$n$$ o número de indivíduos de uma espécie tomada ao acaso da comunidade.

Amostras ao acaso de uma fração da comunidade terão números diferentes de indivíduos. Se a abundância de uma espécie na comunidade é $$n$$ e uma fração $$a$$ da comunidade é amostrada ao acaso, o número esperado de indivíduos na amostra é $$a*n$$. No entanto, a variação ao acaso imposta pela amostra faz com que algumas amostras tenham menos ou mais do que o valor esperado, mas espera-se que valores muito diferentes do esperado sejam menos prováveis dos que os valores próximos.

Portanto, o número de indivíduos de cada espécie em uma amostra é também uma variável aleatória, que podemos descrever com uma função de distribuição de probabilidades. Como o número de indivíduos na amostra pode ser pequeno, vamos modelar esta variável aleatória como uma variável discreta, que descreve a probabilidade de que a abundância $$X$$ na amostra seja um certo valor $$x$$, dada uma certa abundância $$n$$ na comunidade:

$$g(x|\ n)=P(X=x|\ n)$$

A probabilidade de que uma espécie tenha uma certa abundância $$n$$ na comunidade e uma certa abundância $$x$$ na amostra dado $$n$$ é o produto das probabilidades destes dois eventos independentes:

$$f(n)*g(x\ |n)$$

Então uma mesma abundância na amostra pode ocorrer para várias abundâncias na comunidade. Como cada abundância na comunidade é um evento excludente das demais, a soma de suas probabilidades será a probabilidade da ocorrência de um certo número de indivíduos na amostra.

Trata-se, então, de somar todos os produtos do produto acima. Como a função $$f(n)$$ é contínua, esta soma torna-se uma integral:

$$h(x)=c int_0^oo\ f(n)*g(x\ |n)\ $$d$$n$$

Solucionando a integral e multiplicando-a por uma constante de integração $$c$$¹⁾ temos $$h(x)$$, que é a função de densidade de probabilidade das abundâncias de cada espécie na amostra, dados os modelos que descrevem as abundâncias na comunidade e o processo amostral.

Ela pode ser definida de modo a preservar os parâmetros da SAD da comunidade. Com isso, podemos obter estimativas de máxima verossimilhança destes parâmetros da comunidade a partir das observações obtidas na amostra.

<bibtex>

@ARTICLE{Green2007,

author = {Jessica L. Green and Joshua B. Plotkin},
title = {A statistical theory for sampling species abundances},
journal = {Ecology Letters},
year = {2007},
volume = {10},
pages = {1037 - 1045},
owner = {paulo},
timestamp = {2008.12.16},
url={http://www3.interscience.wiley.com/journal/118545784/abstract}

}

@BOOK{Pielou1977,

title = {Mathematical Ecology},
publisher = {John Wiley and Sons},
year = {1977},
author = {Pielou, E. C.},
address = {New York},
owner = {paulo},
timestamp = {2008.12.20}

}

@ARTICLE{Prado2009,

author = {Prado, P I},
title = {Distribuições de Abundâncias de Espécies: avanços analíticos para entender um padrão básico em ecologia},
journal = {Ciência e Ambiente},
year = {2009},
volume = {39},
pages = {121 -- 136},
file={:prado:prado2009_ca.pdf}

}

@book{royle2008,

title={Hierarchical modeling and inference in ecology: the analysis of data from populations, metapopulations and communities},
author={Royle, J.A. and Dorazio, R.M.},
year={2008},
publisher={Academic Press}

}

</bibtex>

• Um Tutorial em R para simular o efeito da amostragem sobre SADs.
• Página Principal do Projeto SADs, que desenvolve e aplica modelos de distribuição de abundâncias usando a Teoria da Amostragem.