Exercícios ODE

Exercício 1

Faça a representação geométrica do exemplo de solução numérica do nosso tutorial Soluções Numéricas, mostrando cada estágio da aproximação para $\Delta t = $ 0.1 e 0.5 e 1.

não precisa fazer isso no R, pode ser feito na mão, ou no Excel1)

Exercício 2

O processo de decomposição de serapilheira (folhas e outros materiais orgânicos caídos no solo) é de extrema importância para a ciclagem de nutrientes em vegetações onde os solos são pouco férteis. Normalmente o processo é modelado com a taxa de decaimento (porcentagem de massa remanescente pelo tempo) sendo constante. Apesar desses modelos se ajustarem a dados empíricos, por vezes não conseguem descrever o processo pelo fato que essa taxa, de fato, não serem constante. Abaixo descrevemos o modelos clássico usado e algumas variações:

  • Modelo Clássico: taxa de decomposição constante:

Eq. 1. $$ \frac{dm}{dt} = -km $$

sendo k a taxa de decomposição e m a massa remanescente.

  • Modelo com duas taxas Reparte o processo em duas fases, a primeira composta de substâncias mais facilmente degradáveis (p. ex. açucares e proteínas) e a segunda por compostos mais estáveis (p. ex. ligninas, celuloses). Podemos descrever esse processo da seguinte forma:

Eq. 2. $$ \frac{dm}{dt} = -(k1 p + k2 (1-p)) m $$

sendo p a fração da massa inicial que é mais facilmente decomposta, k1 a taxa para essa fração e k2 a taxa de decomposição para a outra fração.

Modelo com taxas sendo uma função . Nesse caso a taxa é modelada desacelerando conforme a massa remanescente diminui. Ou seja, o k da Eq. 1, agora é uma função do tempo.

Eq. 3. $$ \frac{dm}{dt} = f(t)*m$$

Uma das funções que podem descrever essa diminuição exponencial da eq. 3 é:

Eq. 4. $$ f(t)=a +b e^{-ht} $$

Perguntas

  1. Quais as equações de decomposição que descrevem a massa remanescente em função do tempo para as eq. 1, 2?
  2. Qual a solução geral para a equação 3?
  3. Solucione a equação 3, incluindo a função 4, para ter o modelo de decomposição com a taxa diminuindo exponencialmente.
  4. Confirme a solução anterior, primeiro integrando eq.4, e substituindo no solução geral da eq. 3
1) URGG!!!
questionario/ode.txt · Última modificação: 2012/05/14 16:45 por adalardo
www.chimeric.de Creative Commons License Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0