Para esse primeiro exercício utilizaremos exepcionalmente o programa Excel. Não se acostume com isso, o programa não merece sua confiança. Uma ótima leitura introdutória para verossimilhança é o texto do Prof. João Baptista batista2009.pdf co-responsável pela disciplina de Seleção de Modelos no nosso programa junto com o Prof. Paulo Inácio.

Este é um exercício sobre Máxima Verossimilhança, utilizando os dados de presença e ausência.

Objetivos:

i) Obter estimativa de parâmetros psi e p com base em método de máxima verosimilhança;

ii) Representar graficamente a superfície de verosimilhança.

1) Construa uma base de dados fictícia.

• Esta base de dados pode ser compreendida como uma matriz [i,j], com número i de linhas e j de colunas.
  
• Como tratam-se de dados de presença e ausência, vamos representar as ausências por zeros, e as presenças por um.
  

Exemplo:

2)Pensar em um modelo simples de ocorrência com dois parâmetros:

• psi é a probabilidade de ocorrência, relativa aos locais (LINHAS);
  
• p é a detecção (condicionada à ocorrência), relativa ao momento da amostragem (COLUNAS);
  

Faça uma somatória para as linhas, correspondendo ao número de detecções da espécie em cada localidade (coluna soma). Quando a soma das observações em uma localidade é zero, ou seja a espécie não foi observada em nenhum dos tempos, o cálculo da verossimilhança é proporcional à probabilidade dela não ter sido detectada ou à probabilidade dela não ocorrer na área, definido nesse caso como:

probabilidade de não ser detectada + probabilidade de não ocorrer
=psi*((1-p)^5)+(1-psi)

Quando a soma das observações em uma localidade é maior que zero, ou seja a espécie foi observada em pelo menos uma das observações, o cálculo é proporcional à probabilidade de ocorrer na localidade e a probabilidade dela ser detectada o número de vezes em que foi (soma) e a probabilidade de não ser detectada o número de vezes que não foi (1-soma):

=psi*(p^soma)*((1-p)^(5-soma))

A somatória dos logarítmos desses valores, multiplicada por -1, é o valor de Log verossimilhança (LogLike).

Agora, calcule o valor de log verossimilhança para uma das possibilidades hipotéticas de estimativa dos parâmetros, por exemplo: psi=0.5 e p=0.3

O próximo passo é fazer o calculo do Loglike para combinações de valores de p e psi possíveis.

Crie uma outra tabela na mesma planilha onde a primeira linha contem os valores possíveis de psi e na primeira coluna os valores de p.

Faça agora para a primeira célula uma fórmula para o cálculo do LogLike para os valores que definem a primeira linha e a primeira coluna.

DICA: para que a fórmula seja depois estendida para as outra células, quando colocar na formula o p, utilize a indexação da posição dele com $ antes da letra da coluna ($B1), no caso do psi faça ao contrário fixe a linha (C$1).

Estenda a fórmula para toda a tabela. Confira o valor da posição psi=0.5 e p=0.3 para ver se é igual ao calculado da primeira parte do exercício. Caso contrário um dos dois cálculos apresenta problema.

Faça uma representação gráfica dos valores de verossimilhança encontrados para cada combinação de psi e p. Utilize a ferramenta de gráfico de superfície do R.

Veja o exemplo da aula na planilha ex1_loglike_alunos.xls

Para ver uma das formas de fazer esse script no R acesse exercicio1.pdf.

Varie o conjunto hipotético de dados (tabela com 0 e 1) pensando em valores de psi e p e veja se sua intuição quanto ao valor de psi e p dos dados hipotéticos se aproxima à estimativa LogLike.