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====== Exercícios ODE ====== | ====== Exercícios ODE ====== | ||
- | O processo de decomposição de serapilheira (folhas e outros materiais orgânicos caídos no solo) é de extrema importância para a ciclagem de nutrientes em vegetações onde os solos são pouco férteis. Normalmente o processo é modelado com a taxa de decaimento (porcentagem de massa remanescente pelo tempo) sendo constante. Apesar desses modelos se ajustarem a dados empíricos, por vezes não conseguem descrever o processo | + | ====== Exercício 1 ====== |
+ | Faça a representação geométrica do exemplo de solução numérica do nosso tutorial [[exercicios: | ||
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+ | ** não precisa fazer isso no R, pode ser feito na mão, ou no Excel((URGG!!!)) ** | ||
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+ | ===== Exercício 2 ===== | ||
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+ | O processo de decomposição de serapilheira (folhas e outros materiais orgânicos caídos no solo) é de extrema importância para a ciclagem de nutrientes em vegetações onde os solos são pouco férteis. Normalmente o processo é modelado com a taxa de decaimento (porcentagem de massa remanescente pelo tempo) sendo constante. Apesar desses modelos se ajustarem a dados empíricos, por vezes não conseguem descrever o processo | ||
* **Modelo Clássico**: | * **Modelo Clássico**: | ||
- | $$ \frac{dm}{dt} = -km $$ | + | Eq. 1. $$ \frac{dm}{dt} = -km $$ |
sendo //k// a taxa de decomposição e //m// a massa remanescente. | sendo //k// a taxa de decomposição e //m// a massa remanescente. | ||
* ** Modelo com duas taxas ** Reparte o processo em duas fases, a primeira composta de substâncias mais facilmente degradáveis (p. ex. açucares e proteínas) e a segunda por compostos mais estáveis (p. ex. ligninas, celuloses). Podemos descrever esse processo da seguinte forma: | * ** Modelo com duas taxas ** Reparte o processo em duas fases, a primeira composta de substâncias mais facilmente degradáveis (p. ex. açucares e proteínas) e a segunda por compostos mais estáveis (p. ex. ligninas, celuloses). Podemos descrever esse processo da seguinte forma: | ||
- | $$ frac{dm}{dt} = -k1 pm + k2 (1-p)m $$ | + | Eq. 2. $$ \frac{dm}{dt} = -(k1 p + k2 (1-p)) m $$ |
sendo //p// a fração da massa inicial que é mais facilmente decomposta, //k1// a taxa para essa fração e //k2// a taxa de decomposição para a outra fração. | sendo //p// a fração da massa inicial que é mais facilmente decomposta, //k1// a taxa para essa fração e //k2// a taxa de decomposição para a outra fração. | ||
- | | + | ** Modelo com taxas sendo uma função |
+ | |||
+ | Eq. 3. $$ \frac{dm}{dt} = f(t)*m$$ | ||
+ | |||
+ | Uma das funções que podem descrever essa diminuição exponencial da eq. 3 é: | ||
+ | |||
+ | Eq. 4. $$ f(t)=a +b e^{-ht} $$ | ||
- | $$ frac{dm}{dt} | + | ===== Perguntas ===== |
- | sendo //h// a taxa com que //k// diminui. | + | |
+ | - Quais as equações de decomposição que descrevem a massa remanescente em função do tempo para as eq. 1, 2? | ||
+ | - Qual a solução geral para a equação 3? | ||
+ | - Solucione a equação 3, incluindo a função 4, para ter o modelo de decomposição com a taxa diminuindo exponencialmente. | ||
+ | - Confirme a solução anterior, primeiro integrando eq.4, e substituindo no solução geral da eq. 3 | ||