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--- questionario:int [2012/05/09 19:15] – [Exercício 2] mortara
+++ questionario:int [2024/01/09 18:18] (atual) – edição externa 127.0.0.1
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 Quais desses são integrais definidas e quais são integrais indefinidas?
 ===== Exercício 2 =====
+(Use o Maxima)
 Em algumas espécies o principal fator que leva a dispersão das sementes é o vento. É possível modelar a distribuição das sementes em função da distancia da fonte mecanisticamente, e uma das expressões, para ventos unidirecionais, que podem ser derivadas é
-* $ Q(x) = \frac{N_0W_s}{\sqrt{2\pi}\bar u \sigma_z} \exp \left[ - \frac{ (H-W_sx/\bar u)^2 } {2 \sigma_z^2} \right], x>0 $
+* $ Q(x) = \frac{NW_s}{\sqrt{2\pi}\bar u \sigma_z} \exp \left[ - \frac{ (H-W_sx/\bar u)^2 } {2 \sigma_z^2} \right] $
 Os parâmetros dessa equação são:
-* $N_0$: a taxa de produção de sementes na fonte
+* $N$: a taxa de produção de sementes na fonte
 * $\sigma_z$: o componente vertical da variância no movimento aleatório da semente
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 (Okubo & Levin, 1989)
-) Vamos encontrar qual é o total de sementes que uma árvore dispersa em um raio de 1m. Para isso, integre a função $Q(x)$ entre 0 e 1. Use $N_0 = 100$, $\sigma_z = W_s = \bar u = H = 1$.
+) Vamos encontrar qual é o total de sementes que uma árvore dispersa em um raio de 1m. Para isso, integre a função $Q(x)$ entre -1 e 1. Use $N = 100$, $\sigma_z = W_s = \bar u = H = 1$.
-) Qual é a expressão que, para uma certa distancia $d$, dá o total de sementes dispersadas entre 0 e d? (Use o Maxima)
+) Qual é o total de sementes dispersadas em [[http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/en/maxima_5.html#IDX110|todo]] o eixo x? Esse resultado é esperado?
+) Qual é a expressão que, para uma certa distancia $d$, dá o total de sementes dispersadas entre 0 e $d$?
 * (Nota: ERF? Leia sobre essa função esquisita [[ http://en.wikipedia.org/wiki/Error_function | aqui ]])
-) Mudemos agora nosso ponto de vista. Numa expedição de reconhecimento matemático pelo eixo x, intrépidos exploradores encontraram uma vasta e densa floresta, que se estende do ponto A ate o longínquo ponto B, composta por N fontes de sementes homogeneamente distribuídas. É possível construir uma função que nos dê a taxa de queda de sementes em cada ponto do eixo? (Como temos um modelo de vento unidirecional, suponha que venta de A para B)
+===== Exercicio 3 =====
+No exercicio 2, consideramos a dispersão de sementes no espaço em um tempo fixo (como uma fotografia). Vamos agora observar a produção de sementes ao longo do tempo: agora $N$ sera uma função periódica do tempo para representar as estações do ano:
+* $ N(t) = N_0(\sin(t) + 1) $
+Vamos usar $N_0 = 100$, e assim, nosso exercício anterior corresponde ao caso em que $\sin(t)=0$ (por exemplo, com $t=0$).
+Agora, nossa função $Q(x, t)$ depende não só de $x$, mas também de $t$:
+$ Q(x, t) = \frac{N(t)W_s}{\sqrt{2\pi}\bar u \sigma_z} \exp \left[ - \frac{ (H-W_sx/\bar u)^2 } {2 \sigma_z^2} \right] $
+) Encontre a densidade total de sementes dispersadas na distância entre -1 e 1 no tempo 0, para se certificar de que isso bate com o resultado anterior: $\int _{-1}^1 Q(x, 0) dx$.
+) Qual é a densidade de sementes que caem sobre o ponto $x=1$ durante um ciclo anual completo, ou seja, com $t$ variando de 0 a $2 \pi$? Resolva a integral //no tempo//: $ \int _0 ^ {2 \pi} Q(1, t) dt$.
+) Encontre uma expressão para a densidade de sementes em momento $t$ qualquer, no raio de x entre -1 e 1. Veja que essa resposta vai ser uma //função de t//, vamos chama-la de $h(t)$, onde $h(t) = \int _{-1}^1 Q(x,t) dx$.
+) Use essa função que você achou na questão 2.3 para encontrar a densidade total de sementes dispersadas com x entre -1 e 1 e durante todo um ciclo anual.
+Nesse último exercício, você calculou a integral $ \int _0 ^ {2 \pi} h(t) dt$. Se você escrever a definição de $h(t)$ nessa expressão, vamos chegar a:
+$ \int _0 ^ {2 \pi} \int _{-1} ^ 1 Q(x, t), dx dt $
+Parabéns! Você acabou de fazer uma [[http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral_m%C3%BAltipla|integral dupla]]! 8-)
+===== Desafio =====
+(Não precisa entregar essa parte, mas leia com carinho!)
+) Na questao 2 acima, a nossa produção de sementes está posicionada na origem. Se uma árvore estiver em uma posição genérica x, escreva qual é a expressão da taxa de queda de sementes em um ponto y.
+) Mudemos agora nosso ponto de vista. Numa expedição de reconhecimento matemático pelo eixo x, intrépidos exploradores encontraram uma vasta e densa floresta, que se estende do ponto A ate o longínquo ponto B, composta por N fontes de sementes homogeneamente distribuídas. É possível construir uma função que nos dê a taxa de queda de sementes em cada ponto do eixo? (Como temos um modelo de vento unidirecional, suponha que venta de A para B)
 ) É possível quantificar a taxa de emigração dessa floresta (a taxa de sementes que se fixam para além de B)?
-) Como ficaria a expressão construída em 3 se a floresta, ao invés de ser homogênea, tivesse suas fontes distribuídas seguindo uma normal?
+) Como ficaria a expressão construída em 2 se a floresta, ao invés de ser homogênea, tivesse suas fontes distribuídas seguindo uma normal?
-) E se ventasse metade do tempo para cada lado, como ficaria a expressão em 3?
+) E se ventasse metade do tempo para cada lado, como ficaria a expressão em 2?
-) Usando a expressão obtida em 6, e o teorema fundamental do cálculo, descubra o ponto em que se fixa o maior numero de sementes.
+) Usando a expressão obtida em 5, e o teorema fundamental do cálculo, descubra o ponto em que se fixa o maior numero de sementes.
+====== Reposta ======
+Veja a solução do exercício [[solucao:int|]]