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| alunos:2012:mawade:exec6 [2012/05/26 20:24] – [Exercício 2] mawade | alunos:2012:mawade:exec6 [2024/01/09 18:19] (atual) – edição externa 127.0.0.1 |
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| * As linhas pontilhadas representam as isoclinas das presas (horizontal) e dos predadores (vertical). Ou seja, $ \frac{d}{dt}V = 0$ e $\frac{d}{dt}P = 0$. | * As linhas pontilhadas representam as isoclinas das presas (horizontal) e dos predadores (vertical). Ou seja, $ \frac{d}{dt}V = 0$ e $\frac{d}{dt}P = 0$. |
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| * Este é um ponto de equilibrio do sistema, ou uma condição (valor de número de presa e de predador) que faz com que as duas equações diferenciais sejam iguais a 0. Este equilibrio é o que se chama de neutramente estável, pois por um lado as duas populações nunca chegam nele, a não ser que o sistema inicie nesse ponto (onde permanecerá para sempre). Por outro lado, dada uma condição inicial, as populações das duas espécies ficarão girando em torno deste ponto. O formato da trajetória dependerá das condições iniciais, por isso ele não é totalmente estável (como num ciclo limite). | * Este é um ponto de equilibrio do sistema, ou uma condição (valor de número de presa e de predador) que faz com que as duas equações diferenciais sejam iguais a 0. Este ponto de equilibrio é o que se chama de neutramente estável, pois por um lado as duas populações nunca chegam nele, a não ser que o sistema inicie nesse ponto (onde permanecerá para sempre). Dada uma condição inicial, as populações das duas espécies ficarão girando em torno deste ponto. O formato da trajetória dependerá destas condições iniciais, por isso ele não é totalmente estável (como num ciclo limite). Para cada condição inicial o sistema estabiliza com uma órbita diferente. Uma vez perturbado, o sistema caminhará na nova órbita que atinge até que uma nova perturbação ocorra. |
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| * Considerando apenas isoclina das presas, ela indica as condições em que o crescimento das presas será nulo, o que ocorre quando o número de predadores = $b/a$ para qualquer número de presas no sistema. Então, se um ponto no diagrama estiver abaixo desta isoclina, significa que há menos predadores que o necessário para zerar o crescimento das presas. Portanto, o crescimento das presas será positivo e haverá uma tendencia de aumentos de número de presa num tempo posterior. Se o ponto estiver acima da isoclina, o inverso ocorre já que o número de predadores é superior ao necessário para anular o crescimento das presas e o crescimento das presas será negativo (decrescimento da população de presas).\\ | * Considerando apenas isoclina das presas, ela indica as condições em que o crescimento das presas será nulo, o que ocorre quando o número de predadores = $b/a$ para qualquer número de presas no sistema. Então, se um ponto no diagrama estiver abaixo desta isoclina, significa que há menos predadores que o necessário para zerar o crescimento das presas. Portanto, o crescimento das presas será positivo e haverá uma tendencia de aumentos de número de presa num tempo posterior. Se o ponto estiver acima da isoclina, o inverso ocorre já que o número de predadores é superior ao necessário para anular o crescimento das presas e o crescimento das presas será negativo (decrescimento da população de presas).\\ |
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| O mesmo raciocínio pode ser aplicado para a isoclina dos predadores. Neste caso, pontos à esquerda da isoclina representam regiões onde a população de predadores tem crescimento negativo e pontos à direita momentos em que os predadores estão em crescimento, pois o número de presas será respectivamente, menor e maior que o necessário para anular o crescimento (ou decrescimento) dos predadores. Em conjunto, as duas isoclinas dividem o diagrama em quatro quadrantes que indicam o caminho da dinâmica populacional das duas espécies para cada combinação de valores de predadores e presas no sistema num determinado momento. A resultante das tendências das presas e dos predadores em um determinado ponto do diagrama sempre aponta para o ponto de equilibrio neutramente estável. Por isso, o sistema é ciclico, e apresenta trajetórias "elípticas" (??? não sei se pode-se chamar essas figuras de elipse) ao redor do ponto de equilíbrio. | O mesmo raciocínio pode ser aplicado para a isoclina dos predadores. Neste caso, pontos à esquerda da isoclina representam regiões onde a população de predadores tem crescimento negativo e pontos à direita momentos em que os predadores estão em crescimento, pois o número de presas será respectivamente, menor e maior que o necessário para anular o crescimento (ou decrescimento) dos predadores. Em conjunto, as duas isoclinas dividem o diagrama em quatro quadrantes que indicam o caminho da dinâmica populacional das duas espécies para cada combinação de valores de predadores e presas no sistema num determinado momento. A resultante das tendências das presas e dos predadores em um determinado ponto do diagrama sempre aponta para o ponto de equilibrio neutramente estável. Por isso, o sistema é ciclico, e apresenta trajetórias orbitais (não sei se pode-se chamar essas figuras de elipse ???) ao redor do ponto de equilíbrio. |
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| Já o modelo discreto de Lotka-Volterra com crescimento sincronico das populações leva o sistema à uma condição altamente instável. Como a tangente sempre aponta para fora da orbita, a cada passada (passagem de uma unidade de tempo) o sistema pula para uma orbita mais externa, até conduzir uma das populações à extinção. Se for a de presas primeiro, a de predador se extinguirá por consequência. Se for a de predador, a população de presas crescerá exponencialmente, pois não haverá o predador para regulá-la. \\ | Já o modelo discreto de Lotka-Volterra com crescimento sincronico das populações leva o sistema à uma condição altamente instável. Como a tangente sempre aponta para fora da orbita, a cada passada (passagem de uma unidade de tempo) o sistema pula para uma orbita mais externa, até conduzir uma das populações à extinção. Se for a de presas primeiro, a de predador se extinguirá por consequência. Se for a de predador, a população de presas crescerá exponencialmente, pois não haverá o predador para regulá-la (ver figura abaixo). \\ |
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| Por fim, o modelos discreto de Lotka-Volterra com crescimento assincronico, conforme avançamos no tempo o sistema alterna entre órbitas mais internas e orbitas mais externa que a que estava anteriormente. Em média as duas populações acabam flutuando ao redor da órbita dada pelas condições iniciais. Portanto, neste caso o sistema tende à estabilidade. Isso é percebido pelo fato das órbitas com cores diferentes estarem misturadas na situação assicrônica e seguir as cores do arco-iris (função rainbow no R) para a situação sincronica (ou seja, está sempre indo para uma órbita mais externa). \\ | Por fim, no modelo discreto de Lotka-Volterra com crescimento assincronico, conforme avançamos no tempo o sistema alterna entre órbitas mais internas e orbitas mais externa que a que estava anteriormente. Em média as duas populações acabam flutuando ao redor da órbita dada pelas condições iniciais. Portanto, neste caso o sistema tende à estabilidade. Isso é percebido pelo fato das órbitas com cores diferentes estarem misturadas na situação assicrônica e seguir as cores do arco-iris (função rainbow no R) para a situação sincronica (ou seja, está sempre indo para uma órbita mais externa). \\ |
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| ===== Exercício 4 ===== | ===== Exercício 4 ===== |
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| Alterando o número de picos, estamos alterando a frequência com que o sistema pula de órbita. Ao considerarmos que a média de ruido é zero, isso quer dizer que no final, o quanto o sistema irá pular para órbitas mais externas, ele também irá pular na mesma quantidade para órbitas mais internas. Após todos os eventos estocásticos que ocorrem no tempo total de simulação, as duas populações tenderão em média a caminhar pela órbita inicial (determinada pelos valores iniciais de presas e predadores).\\ | Alterando o número de picos, estamos alterando a frequência com que o sistema pula de órbita. Ao considerarmos que a média de ruido é zero, isso quer dizer que no final, o quanto o sistema irá pular para órbitas mais externas, ele também irá pular na mesma magnitude para órbitas mais internas. Após todos os eventos estocásticos que ocorrem no tempo total de simulação, as duas populações tenderão em média a caminhar pela órbita inicial (determinada pelos valores iniciais de presas e predadores).\\ |
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| ===== Exercício 5 ===== | ===== Exercício 5 ===== |
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| * Neste gráfico, foi feito o espaço de fases das presas e dos predadores considerando a nova resposta funcional do modelo (Rosenzweig-MacArthur; resposta funcional Holling tipo II). Na abcissa está o número de presas e na ordenada o número de predadores. Neste caso, devido à inclusão do crescimento logistico na equação da variação das presas no tempo (em detrimento do crescimento exponencial do Lotka-Volterra clássico) e da nova resposta funcional, a isoclina das presas não é mais uma reta paralela ao eixo das presas e perpendicular à isoclina dos predadores. Essa isoclina será uma parábola. Isso indica que conforme aumenta o número de presas no sistema, o número de predadores necessários para anular o crescimento das presas aumenta até um pico e depois cai. Isso significa que a eficiência do predador atinge um valor máximo; depois de um certo número de presas no sistema, a taxa de consumo de presas por número de presas disponíveis começa a cair pois os predadores não podem mais aumentar seu consumo linearmente com a disponibilidade de presas no sistema.\\ | * Neste gráfico, foi feito o espaço de fases das presas e dos predadores considerando a nova resposta funcional do modelo (Rosenzweig-MacArthur; resposta funcional Holling tipo II). Na abcissa está o número de presas e na ordenada o número de predadores. Neste caso, devido à inclusão do crescimento logistico na equação da variação das presas no tempo (em detrimento do crescimento exponencial do Lotka-Volterra clássico) e da nova resposta funcional, a isoclina das presas não é mais uma reta paralela ao eixo das presas e perpendicular à isoclina dos predadores. Essa isoclina será uma parábola. Isso indica que conforme aumenta o número de presas no sistema, o número de predadores necessários para anular o crescimento das presas aumenta até um pico e depois cai. Isso se deve ao efeito Allee dado pelo crescimento logistico da população de presas, assim como ao fato de que a eficiência do predador atinge um valor máximo; depois de um certo número de presas no sistema, a taxa de consumo de presas por número de presas disponíveis começa a cair pois os predadores não podem mais aumentar seu consumo linearmente com a disponibilidade de presas no sistema.\\ |
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| Considerando um diagrama de espaço de fases em que os predadores estão na ordenada e as presas na abcissa, a equação que define as isoclinas das presas e dos predadores será: | Considerando um diagrama de espaço de fases em que os predadores estão na ordenada e as presas na abcissa, as equações que definem as isoclinas das presas e dos predadores serão: |
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| * //**Isoclina das presas**// | * //**Isoclina das presas**// |
| $$ K = \frac{D(ew+s)}{ew-s}$$ | $$ K = \frac{D(ew+s)}{ew-s}$$ |
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| Desta forma, se **$K \le \frac{D(ew+s)}{ew-s}$**,\\ | Desta forma, se **$K \ge \frac{D(ew+s)}{ew-s}$**,\\ |
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| o sistema convergirá para um ciclo limite, cuja órbita será tão maior quanto maior for $K$. Desta forma, haverá um valor de $K$ limite a partir do qual o sistema convergirá para o ponto de extinção das duas espécies. Nessas órbitas grandes, ocorrem situações em que o número de predadores cresce muito e extingue as presas, extinguindo-se posteriormente por falta de recursos que permitam seu crescimento. Isso é uma situação que se considera paradoxal (aumentando-se a capacidade suporte das presas estas se aproximam mais da extinção). Contudo, eu não soube estabelecer o valor exato de $K$ para a ocorrência dessa solução (//i.e.// extinção das duas espécies).\\ | o sistema convergirá para um ciclo limite, cuja órbita será tão maior quanto maior for $K$. Haverá um valor de $K$ limite a partir do qual o sistema convergirá para o ponto de extinção das duas espécies. Nessas órbitas grandes, ocorrem situações em que o número de predadores cresce muito e extingue as presas, extinguindo-se posteriormente por falta de recursos que permitam seu crescimento. Isso é uma situação que se considera paradoxal (aumentando-se a capacidade suporte das presas estas se aproximam mais da extinção). Contudo, eu não soube estabelecer o valor exato de $K$ para a ocorrência dessa solução (//i.e.// extinção das duas espécies).\\ |
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| Por outro lado, se **$K < \frac{D(ew+s)}{ew-s}$**,\\ | Por outro lado, se **$K < \frac{D(ew+s)}{ew-s}$**,\\ |
| Se $K \le \frac{sD}{ew-s}$, os sistema convergirá para o ponto fixo $(K,0)$.\\ | Se $K \le \frac{sD}{ew-s}$, os sistema convergirá para o ponto fixo $(K,0)$.\\ |
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| Se $ \frac{sD}{ew-s} \ge K < \frac{D(ew+s)}{ew-s}$, então o sistema convergirá para um ponto fixo de coexistência das duas espécies.\\ | Se $ \frac{sD}{ew-s} \le K < \frac{D(ew+s)}{ew-s}$, então o sistema convergirá para um ponto fixo de coexistência das duas espécies.\\ |
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| Devemos ter em mente que soluções que envolvem pontos fixos são de certa forma indesejáveis, já que na natureza é muito improvável que as duas populações (presas e predadores) se estabilizem em um único valor. Abaixo são apresentados os diagramas de espaço de fase para cada um dos casos apresentados acima. | Devemos ter em mente que soluções que envolvem pontos fixos são de certa forma indesejáveis, já que na natureza é muito improvável que as duas populações (presas e predadores) se estabilizem em um único valor. Abaixo são apresentados os diagramas de espaço de fase para cada um dos casos apresentados acima. |
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| {{ :alunos:2012:mawade:rosen-mac.jpg?700 |}} **Figura 1 ** Espaços de fase representando as quatro soluções para o sistema de Rosenzweig-MacArthur. **A**) Ciclo limite levando as duas populações à extinção ($K=3654$). **B**) ciclo limite com coexistência estável ($K=2676$), **C**) ciclo limite com coexistência estável ($K=\frac{D(ew+s)}{ew-s}=2111$), **D**) a **F**) Ponto fixo com coexistência estável das duas espécies ($K=1743, 1484$ e $1000$, respectivamente, **G**) ponto fixo com extinção dos predadores e presas na capacidade suporte ($K = \frac{D(ew+s)}{ew-s} = 556$, **H**) e **I**) ponto fixo com extinção dos predadores e presas na capacidade suporte ($K = 263$ e $46$, respectivamente).\\ | {{ :alunos:2012:mawade:rosen-mac.jpg?700 |}} **Figura 1 ** Espaços de fase representando as quatro soluções para o sistema de Rosenzweig-MacArthur. **A**) Ciclo limite levando as duas populações à extinção ($K=3654$). **B**) ciclo limite com coexistência estável ($K=2676$), **C**) ciclo limite com coexistência estável ($K=\frac{D(ew+s)}{ew-s}=2111$), **D**) a **F**) Ponto fixo com coexistência estável das duas espécies ($K=1743, 1484$ e $1000$, respectivamente), **G**) ponto fixo com extinção dos predadores e presas na capacidade suporte ($K = \frac{D(ew+s)}{ew-s} = 556$, **H**) e **I**) ponto fixo com extinção dos predadores e presas na capacidade suporte ($K = 263$ e $46$, respectivamente).\\ |
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| * Infelizmente não consegui ajustar a função LVdiscreto para o sistema de Rosenzweig-MacArthur. Entretanto, eu chutaria que no caso em que a solução é um ponto fixo de coexistência estável das duas espécies, o sistema convergiria para um ciclo limite no modelo discreto (sincronico). Isso porque no modelo discreto o sistema sempre pula para uma órbita externa. Então, o tempo discreto atuaria como uma força oposta à tendência de convergir para um único ponto e ele passaria a rodar numa órbita ao redor deste ponto de equilibrio de coexistência estável. Entretanto, nos caso em que o sistema tem solução em ciclo limite eu chutaria que o tempo discreto ajudaria a fazer o sistema cair num ciclo limite de órbita muito grande que leva á extinção das espécies. Ou seja, ficaria mais fácil atingir um desses pontos [$(0,0)$ ou $(K,0)$, onde o primeiro valor é o número de presas e o segundo o número de predadores]. Talvez o modelo discreto assincrônico resolvesse o problema do segundo caso. Para o caso em que o sistema converge para o ponto (K,0) obrigatóriamente, eu chutaria que nenhum dos modelos discretos resolveria essa problema. Na verdade eu não vejo muito essas situações como problemas, mas são apenas resultados esperados quando estamos usando um ou outro modelo. Então, dependendo da situação biológica que estamos estudando, um ou outro modelo poderá ser melhor.\\ | * Os gráficos abaixo representam dois conjuntos. O primeiro para dinâmica sincronica e o segundo para assincronica. Os valores de capacidade suporte são os mesmos da questão anterior. Percebe-se primeiro que para ambos os modelos, o caso em que as isolinhas não se cruzam nunca é solucionado. Para os outros casos, o modelo sincronico se comporta pior que o assincronico (como previsto anteriormente), mas ainda não resolve todos nossos problemas. O modelo sincronico leva a órbitas mais externas que invariávelmente levam o sistema para a extinção das espécies. O modelo assincrônico é melhor mais ainda permite que o sistema vá para um estado fixo com extinção de uma ou as duas espécies. Na verdade nenhuma dessas alternativas parece melhor que a do modelo continuo. |
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| | {{ :alunos:2012:mawade:rosen-mac-disc-sinc.jpg?700 |}} |
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| | {{ :alunos:2012:mawade:rosen-mac-disc-sinc2.jpg?700 |}} |
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| {{:alunos:2012:mawade:predacao.r|Códigos}} em R usados para estes exercícios. | {{:alunos:2012:mawade:predacao.r|Códigos}} em R usados para estes exercícios. |
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