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--- alunos:2012:mawade:exec5 [2012/05/21 18:49] – [Exercício 2] mawade
+++ alunos:2012:mawade:exec5 [2024/01/09 18:19] (atual) – edição externa 127.0.0.1
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+====== VI) MODELOS DE DINÂMICA POPULACIONAL COM COMPETIÇÃO INTERESPSCÍFICA ======
 ===== Exercício 1 =====
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-  * O
+  * Para interpretarmos a situação de coexistência entre as espécies, não vejo outra forma se não adotarmos as idéias que foram exploradas no exercício 4. Compreender esta situação em termos de razão entre as capacidades suporte não me faz muito sentido se não interpretarmos a capacidade suporte como uma constante relacionada à competição intra-específica de cada espécie ($K = \frac{1}{\alpha_{intra}}$). Ou seja, se a quantidade de recursos é fixa e homogeneamente distribuída no sistema, uma espécie que tem maior capacidade suporte que uma outra espécie consegue explorar os recursos mais "eficientemente" ou com uma menor competição entre seus indivíduos em relação à outra espécie. Ou seja, a competição intra-específica será maior para a outra espécie.\\
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+Dado isso, a coexistência entre duas espécies ocorrerá quando a competição entre as espécies for menor que a competição intra-específica. Considerando que $\alpha$ e $\beta$ representam quantos individuos de uma espécie são perdidos pela presença de um indivíduo da outra espécie, eles nos dão uma idéia do efeito competitivo de uma espécie sobre a outra. Se esses valores forem menores que a razão entre a competição intra-específica da espécie e a competição intra-específica da outra espécie teremos coexistência das espécies. Em outras palavras, isso quer dizer que se a competição intra-específica para uma espécie 1 for maior que para um outra espécie 2, mas se o efeito de 1 sobre a espécie 2 for proporcionalmente maior do que o efeito da espécie 2 sobre a espécie 1, haverá coexistência. Então, um menor crescimento intrínseco de uma espécie será compensado por uma maior redução que ela provoca na outra espécie, mantendo os níveis da outra espécie mais baixos do que seu potencial, o que por sua vez, faz com que o efeito desta outra espécie seja pequeno na espécie de menor crescimento intrínseco, permitindo que ela continue crescendo. Ambas as populações atingirão um equilíbrio estável com menos indivíduos em relação ao que teriam na ausência da outra espécie.
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 ===== Exercício 2 =====
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 {{ :alunos:2012:mawade:compet-cont.jpg?500 |fig.1}} \\
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-  * Os gráficos, para t=200 parecem um pouco diferentes uma vez que no modelo continuo as duas populações se encontram mais próximas ao seus respectivos pontos de estabilidade. Isso significa que no modelo discreto parece haver um transiente maior até se atingir a estabilidade. Isso é constatado pelo diagrama de espaço de fase, onde se pode observar que o tamanho das duas populações tendem ao ponto de equilíbrio estável do sistema. Ao diminuirmos o tempo máximo de observação (t = 5), o mesmo padrão é observado, exceto que é muito mais incerto prevermos a coexistência das duas populações analisando apenas o gráfico de $N(t) × t$.
+  * Os gráficos, para t=200 parecem um pouco diferentes uma vez que no modelo continuo as duas populações se encontram mais próximas ao seus respectivos pontos de estabilidade. Isso significa que no modelo discreto parece haver um transiente maior até se atingir a estabilidade. Isso é constatado pelo diagrama de espaço de fase, onde se pode observar que o tamanho das duas populações tendem ao ponto de equilíbrio estável do sistema. Ao diminuirmos o tempo máximo de observação (t = 5), o mesmo padrão é observado, exceto que é muito mais incerto prevermos a coexistência das duas populações analisando apenas o gráfico de $N(t) × t$. Neste caso, mesmo o modelo contínuo não permite inferências conclusivas sobre a estabilidade do sistema e sua situação final.
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 ===== Exercício 4 =====
+  * $\alpha_{11}$ pode ser interpretado biologicamente como uma "taxa" de competição intra-específica, ou como cada indivíduo da espécie 1 afeta seu próprio crescimento. Da mesma forma, $\alpha_{22}$ tem a mesma interpretação para a espécie 2.\\
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+  * $\frac{d}{dt}N_1(t) = r_1N_1(t) \left (\frac{K_1-N_1(t)-\alpha N_2(t)}{K_1}\right)=r_1N_1(t) \left [1-\alpha_{11}(N_1(t)+\alpha N_2(t))\right]$. Analogamente,\\
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+$\frac{d}{dt}N_2(t) = r_2N_2(t) \left [1-\alpha_{22}(N_2(t)+\beta N_1(t))\right]$\\
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+  * Essencialmente, nada muda. Os gráficos são iguais aos do exercício 2, o que é esperado e trivial. O que deve-se atentar é que agora os valores de $\alpha_{11}$ ou $\alpha_{22}$ estão em outra escala em relação aos de $K_1$ ou $K_2$. Claro, um é o inverso do outro. Igualmente, as unidades são diferentes (<indivíduo> para $K$ e <1/indivíduo> para $\alpha_{ii}$). Como os gráficos são os mesmos, apresento apenas o referente ao cenário de coexistência das espécies.
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+{{ :alunos:2012:mawade:comp-esp-fase1.jpg?600 |}}
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+  * $\frac{d}{dt}N_1(t) = r_1N_1(t) \left [1-\alpha_{11}(N_1(t)+\alpha_{12}N_2(t))\right]$\\
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+$\frac{d}{dt}N_2(t) = r_2N_2(t) \left [1-\alpha_{22}(N_2(t)+\alpha_{21}N_1(t))\right]$\\
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+__Situação 1__: **Espécie 1 sempre exclui a espécie 2**\\
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+**$\alpha_{12} < \frac{K_1}{K_2}$ ; $\frac{1}{\alpha_{21}} < \frac{K_1}{K_2}$**\\
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+**$\alpha_{12} < \frac{\alpha_{22}}{\alpha_{11}}$ ; $\frac{1}{\alpha_{21}} < \frac{\alpha_{22}}{\alpha_{11}}$**\\
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+__Situação 2__: **Espécie 2 sempre exclui a espécie 1**\\
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+**$\alpha_{12} > \frac{K_1}{K_2}$ ; $\frac{1}{\alpha_{21}} > \frac{K_1}{K_2}$**\\
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+**$\alpha_{12} > \frac{\alpha_{22}}{\alpha_{11}}$ ; $\frac{1}{\alpha_{21}} > \frac{\alpha_{22}}{\alpha_{11}}$**\\
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+__Situação 3__: **Coexistência**\\
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+**$\alpha_{12} < \frac{K_1}{K_2}$ ; $\frac{1}{\alpha_{21}} > \frac{K_1}{K_2}$**\\
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+**$\alpha_{12} < \frac{\alpha_{22}}{\alpha_{11}}$ ; $\frac{1}{\alpha_{21}} > \frac{\alpha_{22}}{\alpha_{11}}$**\\
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+__Situação 4__: **Equilibrio instável (alguma das duas espécies exclui a outra)**\\
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+**$\alpha_{12} > \frac{K_1}{K_2}$ ; $\frac{1}{\alpha_{21}} < \frac{K_1}{K_2}$**\\
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+**$\alpha_{12} > \frac{\alpha_{22}}{\alpha_{11}}$ ; $\frac{1}{\alpha_{21}} < \frac{\alpha_{22}}{\alpha_{11}}$**\\
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+Os gráficos para essas situações foram apresentados ao longo do exercício ({{:alunos:2012:mawade:competicao.r| Código}} em R).