Diferenças

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--- alunos:2012:mawade:exec2 [2012/05/14 15:15] – [Exercício 2] mawade
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 ====== III) EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINARIAS (ODE)======
-Equações diferenciais ordinárias são equações cuja a incógnita é a uma função. Ela se chama ordinaria pois a função diferenciada possui apenas uma variável e é sobre ela que se aplica a diferenciação. Isso distingui esse grupo de  outros tipos de equações diferenciais como, por exemplo, as equações diferenciais parciais, paras as quais são diferenciadas derivadas parciais. Simbolicamente, isso pode ficar mais claro.\\
+Equações diferenciais ordinárias são equações cuja a incógnita é a uma função. Ela se chama ordinaria pois a função diferenciada possui apenas uma variável e é sobre ela que se aplica a diferenciação. Isso distingue esse grupo de  outros tipos de equações diferenciais como, por exemplo, as equações diferenciais parciais, paras as quais são diferenciadas derivadas parciais. Simbolicamente, isso pode ficar mais claro.\\
 \\
 **EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (ODE)**
@@ Linha 35: / Linha 35: @@
 \\
 =====Exercício 2=====
-  * **1)**
+  * **1)** Sendo $ \frac{dm_1(t)}{dt} = -km_1(t)$ e $\frac{dm2(t)}{dt} = -[k_1 p + k_2 (1-p)] m_2(t)$ ,\\
 \\
+=== ===
+$dm_1(t)=-km_1(t)dt$ \\
+\\
+$\int^m dm_1 = \int^t -km_1(t)dt$ \\
+\\
+$m_1(t)=\int -km_1(t)dt$ \\
-  * **2)** $ \frac{d}{dt}m(t) = f(t)$\\
+$$ m_1(t) = ue^{-kt}$$ \\
+em que $u$ é uma outra constante. Para demonstrar que esse calculo está correto fazemos o seguinte: \\
+\\
+$\frac{dm_1(t)}{dt} = u(-k)e^{-kt}=-kue^{-kt} =$ \\
+\\
+** $\frac{dm_1(t)}{dt} = -km(t)$**\\
+\\
+Para a segunda equação, podemos considerá-la como um caso especial da primeira em que:\\
+\\
+$ k_1 p + k_2 (1-p) = k$. Então,\\
+\\
+$m_2(t)=ue^{-kt}$
+$$m_2(t) = ue^{-[k_1 p + k_2 (1-p)]}$$
+\\
+===== =====
+** Os exercícios 2, 3 e 4 mudaram durante o periodo que estive respondendo. A equação 3 foi modificada. Apresentarei as duas soluções.**\\
+  * **2)** **Eq. 3a** $= \frac{d}{dt}m(t) = f(t)$\\
 === ===
 \\
 $ dm(t)=f(t)dt$\\
 \\
-$\int^m dm = \int f(t)d(t)$
+$\int^m dm = \int f(t)dt$
 \\
 \\
-Então, a solução geral da equação 3 é:
+Então, a solução geral da equação 3a é:
-$$m(t)=\int f(t)d(t)$$
+$$m(t)=\int f(t)dt$$
+\\
+**Eq. 3b** $= \frac{d}{dt}m(t) = f(t)m(t)$\\
+\\
+Usando o Maxima, encontramos a solução geral para esta equação diferencial, que é:
+$$m(t)=\int f(t)m(t)dt = c e^{\int f(t)dt}$$
 ===== =====
-  * **3)** $ m(t)=\int f(t)d(t)$
+  * **3a)** $ m(t)=\int f(t)dt$
 === ===
 \\
@@ Linha 56: / Linha 87: @@
 $m(t)=\int adt + \int b$ e$^{-ht}dt$\\
 \\
-$$m(t)= at - \frac{b}{h} e^{-ht}$$
+$$m(t)= at - \frac{b}{h} e^{-ht}$$\\
 ===== =====
-  * **4)** Esta etapa é o processo inverso para confirmar a solução da equação diferencial encontrada.\\
+  * **3b)** $ m(t)=\int f(t)m(t)dt = c $e$^{\int f(t)dt}$\\
+=== ===
 \\
+$\frac{d}{dt}m(t) = m(t)(a+b$e$^{-ht})$
+$$ m(t)=c e^{\int a+be^{-ht}dt}$$
+===== =====
+  * **4a)** Esta etapa é o processo inverso para confirmar a solução da equação diferencial encontrada.\\
 === ===
 $m(t)= at - \frac{b}{h}$ e$^-ht$\\
@@ Linha 67: / Linha 103: @@
 $ \frac{d}{dt}m(t)= g'(t) - k(t)[j'(t)h'(j(t))]-k'(t)(h(j(t))$\\
 \\
-$\frac{d}{dt}m(t)= a - (-\frac{b}{h}(-h \exp^{-ht})) + 0=a-b$e$^{-ht}$
+$\frac{d}{dt}m(t)= a + (-\frac{b}{h}(-h e^{-ht})) + 0=a+be^{-ht}$
+\\
+===== =====
+\\
+  * **4b)** $\int a+be^{-ht}dt =$
+=== ===
+$=\int adt +\int be^{-ht}dt =$\\
+\\
+$=at + \int be^{-ht}dt =$\\
+$$at -\frac{b}{h}e^{-ht}$$
+**$m(t)=c e^{\int a+be^{-ht}dt} = $**
+===== =====
+$$c e^{at -\frac{b}{h}e^{-ht}}$$
+=== ===
+$\frac{d}{dt}m(t) = c (a+be^{-ht})e^{at -\frac{b}{h}e^{-ht}}$
+===== =====
+**$$\frac{d}{dt}m(t) = f(t)c e^{at -\frac{b}{h}e^{-ht}}=m(t)f(t)$$**
+\\
+\\
+\\
+A versão do exercício 2 com alguns calculos em Maxima, encontram-se neste arquivo: {{:alunos:2012:mawade:ode-exer.wxm|ODEs.wxm}}