Diferenças

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--- alunos:2012:mawade:exec2 [2012/05/14 03:54] – [Exercício 1] mawade
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 ====== III) EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINARIAS (ODE)======
-Equações diferenciais ordinárias são equações cuja a incógnita é a uma função. Ela se chama ordinaria pois a função diferenciada possui apenas uma variável e é sobre ela que se aplica a diferenciação. Isso distingui esse grupo de  outros tipos de equações diferenciais como, por exemplo, as equações diferenciais parciais, paras as quais são diferenciadas derivadas parciais. Simbolicamente, isso pode ficar mais claro.\\
+Equações diferenciais ordinárias são equações cuja a incógnita é a uma função. Ela se chama ordinaria pois a função diferenciada possui apenas uma variável e é sobre ela que se aplica a diferenciação. Isso distingue esse grupo de  outros tipos de equações diferenciais como, por exemplo, as equações diferenciais parciais, paras as quais são diferenciadas derivadas parciais. Simbolicamente, isso pode ficar mais claro.\\
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 **EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (ODE)**
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 {{ :alunos:2012:mawade:met_euler.jpg?nolink&500 |}}\\
-\\
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 //{{:alunos:2012:mawade:odes.r|Código}} em R usado nesse exercício.//
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 =====Exercício 2=====
+  * **1)** Sendo $ \frac{dm_1(t)}{dt} = -km_1(t)$ e $\frac{dm2(t)}{dt} = -[k_1 p + k_2 (1-p)] m_2(t)$ ,\\
+\\
+=== ===
+$dm_1(t)=-km_1(t)dt$ \\
+\\
+$\int^m dm_1 = \int^t -km_1(t)dt$ \\
+\\
+$m_1(t)=\int -km_1(t)dt$ \\
+$$ m_1(t) = ue^{-kt}$$ \\
+em que $u$ é uma outra constante. Para demonstrar que esse calculo está correto fazemos o seguinte: \\
+\\
+$\frac{dm_1(t)}{dt} = u(-k)e^{-kt}=-kue^{-kt} =$ \\
+\\
+** $\frac{dm_1(t)}{dt} = -km(t)$**\\
+\\
+Para a segunda equação, podemos considerá-la como um caso especial da primeira em que:\\
+\\
+$ k_1 p + k_2 (1-p) = k$. Então,\\
+\\
+$m_2(t)=ue^{-kt}$
+$$m_2(t) = ue^{-[k_1 p + k_2 (1-p)]}$$
+\\
+===== =====
+** Os exercícios 2, 3 e 4 mudaram durante o periodo que estive respondendo. A equação 3 foi modificada. Apresentarei as duas soluções.**\\
+  * **2)** **Eq. 3a** $= \frac{d}{dt}m(t) = f(t)$\\
+=== ===
+\\
+$ dm(t)=f(t)dt$\\
+\\
+$\int^m dm = \int f(t)dt$
+\\
+\\
+Então, a solução geral da equação 3a é:
+$$m(t)=\int f(t)dt$$
+\\
+**Eq. 3b** $= \frac{d}{dt}m(t) = f(t)m(t)$\\
+\\
+Usando o Maxima, encontramos a solução geral para esta equação diferencial, que é:
+$$m(t)=\int f(t)m(t)dt = c e^{\int f(t)dt}$$
+===== =====
+  * **3a)** $ m(t)=\int f(t)dt$
+=== ===
+\\
+$m(t)= \int a+b$ e$^{-ht}dt$\\
+\\
+$m(t)=\int adt + \int b$ e$^{-ht}dt$\\
+\\
+$$m(t)= at - \frac{b}{h} e^{-ht}$$\\
+===== =====
+  * **3b)** $ m(t)=\int f(t)m(t)dt = c $e$^{\int f(t)dt}$\\
+=== ===
+\\
+$\frac{d}{dt}m(t) = m(t)(a+b$e$^{-ht})$
+$$ m(t)=c e^{\int a+be^{-ht}dt}$$
+===== =====
+  * **4a)** Esta etapa é o processo inverso para confirmar a solução da equação diferencial encontrada.\\
+=== ===
+$m(t)= at - \frac{b}{h}$ e$^-ht$\\
+\\
+$m(t)=g(t)-k(t)(h(j(t)))$\\
+\\
+$ \frac{d}{dt}m(t)= g'(t) - k(t)[j'(t)h'(j(t))]-k'(t)(h(j(t))$\\
+\\
+$\frac{d}{dt}m(t)= a + (-\frac{b}{h}(-h e^{-ht})) + 0=a+be^{-ht}$
+\\
+===== =====
+\\
+  * **4b)** $\int a+be^{-ht}dt =$
+=== ===
+$=\int adt +\int be^{-ht}dt =$\\
+\\
+$=at + \int be^{-ht}dt =$\\
+$$at -\frac{b}{h}e^{-ht}$$
+**$m(t)=c e^{\int a+be^{-ht}dt} = $**
+===== =====
+$$c e^{at -\frac{b}{h}e^{-ht}}$$
+=== ===
+$\frac{d}{dt}m(t) = c (a+be^{-ht})e^{at -\frac{b}{h}e^{-ht}}$
+===== =====
+**$$\frac{d}{dt}m(t) = f(t)c e^{at -\frac{b}{h}e^{-ht}}=m(t)f(t)$$**
+\\
+\\
+\\
+A versão do exercício 2 com alguns calculos em Maxima, encontram-se neste arquivo: {{:alunos:2012:mawade:ode-exer.wxm|ODEs.wxm}}