<WRAP center round box 80%> Baixe o arquivo colheita.csv e preencha a tabela de anova com esses dados. Testando a hipótese de que existem diferenças na produção agrícola em diferentes tipos de solo. Os cálculos devem ser feitos passo-a -passo, sem uso de uma função específica.

<WRAP center round box 100%> </WRAP>

</WRAP>

$$SS_{total} = \sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^n (y_{ij} - \bar{\bar{y}})^2 $$

$$SS_{in} = \sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^n (y_{i,j} - \bar{y}_{i})^2 $$

$$SS_{en} = \sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^n (\bar{y}_{i} - \bar{\bar{y}})^2 $$

<WRAP center round todo 80%>

• O resto é com vc, COMPLETE A TABELA!
• Faça o teste usando reamostragem no RSampling
• Faça gráficos para apresentar os dados
• Inclua o resultado do teste de ANOVA no gráfico

</WRAP>

Quando realizamos uma análise mais aprofundada sobre a relação entre duas variáveis numéricas contínuas podemos ajustar uma reta que represente o melhor ajuste entre os dados e que possa nos ajudar a prever valores da variável resposta (eixo Y) a partir de valores da variável preditora (eixo X). Se o ajuste é uma reta, esse tipo de análise é chamado de Análise de Regressão Linear. A explicação sobre como funciona essa análise foi apresentada na aula sobre Análise de Regressão Linear. Alguns aspectos importantes para entendermos esse tutorial:

• A reta ajustada (também denominada “linha de regressão”) passa obrigatoriamente pelo ponto que representa a média da variável Y e a média da variável X.
• A linha de regressão é aquela que minimiza os resíduos (na verdade, a soma dos quadrados dos resíduos)
• Os pontos das observações estarão distribuídos em torno dessa reta.
• A distância vertical (projetada no eixo Y) de cada ponto até a reta é chamada de resíduo ou erro dos pontos.

Nesse tutorial nosso interesse é avaliar como os resíduos/erros estão distribuídos, pois os modelos de regressão linear possuem importantes premissas relacionadas a eles.

<WRAP center round important 90%> As premissas de um modelo de regressão linear são relativos aos termos de resíduos/erros do modelo. Se estamos falando de um modelo de regressão no qual a variável preditora é fixa (i.e. sem erros aleatórios), somente a variável resposta apresentará erro aleatório, então, as premissas também se aplicam à variável Y (resposta). </WRAP>

- LINEARIDADE - Uma reta representa o melhor ajuste aos dados

- DISTRIBUIÇÃO NORMAL DOS ERROS/RESÍDUOS - Para cada valor de X, os erros seguem uma distribuição normal. Se fossem feitas muitas réplicas para cada um dos valores de X, a distribuição dos vários valores obtidos para Y (e consequentemente dos erros) nas muitas réplicas seguiria uma distribuição normal. Porém, em geral, não são feitas réplicas e é necessário assumir que esses valores seguem essa distribuição.

- VARIÂNCIA DOS ERROS/RESÍDUOS CONSTANTE - Para qualquer valor de X, a variância dos erros é a mesma. Se fossem feitas muitas réplicas para cada um dos valores de X, a distribuição dos vários valores obtidos para Y (e consequentemente dos erros) nas muitas réplicas apresentaria uma mesma variância para qualquer valor de X. Porém, em geral, não são feitas réplicas e é necessário assumir que essas variâncias são iguais.

Quando essa premissa é cumprida, temos o que chamamos de homoscedasticidade:

Quando ela não é cumprida, observamos uma heteroscedasticidade:

Os erros/resíduos indicam o quão longe os valores de Y observados estão dos valores de Y estimados pela linha de regressão ajustada.

Os erros/resíduos de cada observação são calculados projetando-se no eixo Y o valor de Y observado e o valor de Y estimado (ou predito) pela reta e calculando-se a diferença entre esses dois valores.

Agora vamos estimar os valores dos resíduos para esse exemplo hipotético abaixo:

Faça uma tabela como essa e anote os valores aproximados que você consegue obter por esse gráfico:

Ok, agora que você entendeu como são calculados os erros/resíduos, vamos trabalhar com conjuntos de dados maiores para podermos entender como checar as premissas da análise de regressão linear de uma maneira um pouco mais realista:

Baixe os arquivos de dados para o seu diretório:

• algas_peixes.csv
• algas_peixes2.csv
• insetos_peixes.csv
• vol_inds.csv

<WRAP center round info 90%> Descrição dos conjuntos de dados:

Um grupo de pesquisadores vem trabalhando há muito tempo com peixes da família Rivulidae que ocorrem em lagos temporários. Esses peixes crescem e se reproduzem nesses lagos temporários durante o período de chuvas e seus ovos ficam dormentes durante o período de seca.

Do total de lagos temporários existentes, foram sorteados 20 lagos e na época chuvosa os seguintes dados foram coletados:

• - Biomassa de algas
• - Biomassa de insetos aquáticos
• - Volume do lago
• - Biomassa de peixes herbívoros
• - Biomassa de peixes insetívoros
• - Número de indivíduos adultos da espécie mais abundante (Austrolebias charrua)

- O primeiro conjunto de dados (algas_peixes.csv) foi obtido com o objetivo de analisar se a biomassa de algas existente nos lagos influencia a biomassa de peixes herbívoros e se essa relação é linear.

- O segundo conjunto de dados (algas_peixes2.csv) foi obtido com o mesmo objetivo anterior, mas em outros 20 lagos diferentes

- O terceiro conjunto de dados (insetos_peixes.csv) foi obtido com o objetivo de analisar se a biomassa de insetos existente nos lagos influencia a biomassa de peixes insetívoros e se essa relação é linear.

- O quarto conjunto de dados (vol_inds.csv) foi obtido com o objetivo de analisar se o volume de água de cada lago afeta o número de indivíduos da espécie Austrolebias charrua existente no lago e se essa relação é linear.

</WRAP>

O primeiro passo é ajustar um modelo de regressão linear aos dados obtidos.

Inicialmente vamos trabalhar com o conjunto de dados algas_peixes.csv

Lembre dos métodos usados no tutorial de ANÁLISES EXPLORATÓRIAS DE DADOS. Escolha um dos métodos disponíveis para avaliar a normalidade dos dados e aplique a mesma lógica para a distribuição dos erros/resíduos.

Para qualquer valor de X (ou de Yobservado, ou de Yestimado) os valores máximos e mínimos dos resíduos devem ser similares. Então, podemos fazer um gráfico em que relacionamos os valores de Yestimado (ou seja, os valores de Y que são indicados pela reta de regressão) e os valores dos Resíduos para cada Yestimado.

Como você interpreta esse gráfico? Você nota algum padrão na distribuição dos erros/resíduos?

O mesmo gráfico (Resíduos X Yestimado) que é utilizado para avaliar se a variância é constante (homoscedasticidade), também pode ser utilizado para checar se existe alguma assimetria, algum viés (positivo ou negativo) ou alguma tendência de que a relação seja melhor definida por uma curva do que por uma reta.

A figura abaixo mostra vários exemplos desse gráfico entre Resíduos X Yestimado relações com ou sem homoscedasticidade e com ou sem vieses (biased ou unbiased):

O primeiro gráfico a ser feito é um gráfico de dispersão (XY) simples. Uma curva suavizada pode ser plotada para ajudar a analisar a tendência geral ¹⁾.

Adicionalmente, o gráfico de Resíduos X Yestimado (acima) também indica se existe alguma tendência de melhor ajuste a uma curva do que a uma reta.

Além de testar as premissas, também é importante fazer um diagnóstico para verificar se existem outliers e se eles afetam muito o resultado da análise de regressão.

Para medir a influência de uma observação usamos uma medida denominada “Distância de Cook” que é calculada para cada observação e leva em consideração o erro/resíduo (e) e a leverage (hii) da observação, que pode ser traduzida como “alavancagem”. A leverage indica o quanto um dado valor de X influencia o valor de Yestimado.

<WRAP center round tip 90%> Valores altos de Distância de Cook significam que se esse ponto for retirado das análises, a inclinação da reta de regressão pode mudar muito. Veja o exemplo abaixo, do livro de Quinn & Keough (2008), mostrando o efeito de três diferentes pontos sobre a inclinação da reta. </WRAP>

Se o valor dos Resíduos for plotado em relação ao valor de leverage, os pontos que possuírem as maiores leverage e também erros/resíduos grandes (positivos ou negativos) serão os pontos com maiores Distâncias de Cook e consequentemente, com maiores influências sobre os parâmetros da reta.

Devido ao tempo escasso, não vamos construir esse gráfico passo-a-passo. Vamos usar uma função mágica do R que vai mostrar 4 gráficos de diagnóstico de uma só vez e incluirá esse gráfico para que você possa analisar.

O primeiro passo é ajustar um modelo de regressão linear aos dados obtidos. Para o primeiro conjunto de dados (algas_peixes.csv), nós já fizemos isso, então, vamos apenas inspecionar o resumo do modelo:

Obs.: Note que o gráfico inferior à direita é o gráfico que mostra a distância de Cook.

Salve essa página como.pdf e coloque o mesmo nome do arquivo de dados

Repita o mesmo procedimento para os outros conjuntos de dados e avalie quais premissas estão sendo atendidas ou não para cada um.