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Linha 1: | Linha 1: | ||
====== Crescimento Logístico ====== | ====== Crescimento Logístico ====== | ||
+ | * Solução da Equação diferencial: | ||
+ | |||
+ | $$\frac{dn(t)}{dt} = r (-\frac{n(t)}{K}+1) n(t)$$: | ||
+ | |||
+ | * Divide ambos lados por $-\frac{n(t)}{K}+1 $: | ||
+ | * $\frac{\frac{dn(t)}{dt}}{(-\frac{n(t)}{K}+1) n(t))} | ||
+ | * Integra ambos lados em relação a t: | ||
+ | * $\int \frac{ \frac{dn(t)}{dt}} | ||
+ | Avaliando: | ||
+ | |||
+ | * $K (\frac{-(log(-K+n(t))}{K}+\frac{log(n(t))}{K}) | ||
+ | |||
+ | Resolvendo para N(t): | ||
+ | $$N(t) = \frac{K e^{r t+c_1}}{e^{r t+c_1}-1}$$ | ||
+ | |||
+ | ===== Resolvendo para N(0)=N0 ===== | ||
+ | |||
+ | * $N_0 = \frac{K e^{c_1}}{e^{c_1}-1}$ | ||
+ | resolvendo para c1: | ||
+ | * $c_1= -\log{(\frac{-K+m}{m})}$ | ||
+ | |||
+ | Substituindo $c_1= -\log{(\frac{-K+m}{m})}$ em $N(t) = \frac{K e^{r t+c_1}}{e^{r t+c_1}-1}$: | ||
+ | |||
+ | $$N(t) = \frac{K N_0 e^{r t}}{K+ N_0 (e^{r t}-1)} | ||
+ | |||
+ | Aqui me pareceu bom! É uma formula que é inteligível e podemos usar em nossos exercícios. Podemos verificar se ela é correspondente a outra, simulando populações... funciona! Ou podemos simplificá-la ainda mais para chegar a mesma expressão: | ||
+ | |||
+ | ** Agora só faltam ainda alguns passos: (1) multiplique divisor e dividendo por $N_0e^{-rt}$, |