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 ====== Exercícios ODE ======
-O processo de decomposição de serapilheira (folhas e outros materiais orgânicos caídos no solo) é de extrema importância para a ciclagem de nutrientes em vegetações onde os solos são pouco férteis. Normalmente o processo é modelado com a taxa de decaimento (porcentagem de massa remanescente pelo tempo) sendo constante. Apesar desses modelos se ajustarem a dados empíricos, por vezes não conseguem descrever o processo por essa taxa de fato não ser constante. Abaixo descrevemos os modelos usados
+====== Exercício 1 ======
+Faça a representação geométrica do exemplo de solução numérica do nosso tutorial [[exercicios:calc1#Soluções Numéricas|]], mostrando cada estágio da aproximação para $\Delta t = $ 0.1 e 0.5 e 1.
+** não precisa fazer isso no R, pode ser feito na mão, ou no Excel((URGG!!!)) **
+===== Exercício 2 =====
+O processo de decomposição de serapilheira (folhas e outros materiais orgânicos caídos no solo) é de extrema importância para a ciclagem de nutrientes em vegetações onde os solos são pouco férteis. Normalmente o processo é modelado com a taxa de decaimento (porcentagem de massa remanescente pelo tempo) sendo constante. Apesar desses modelos se ajustarem a dados empíricos, por vezes não conseguem descrever o processo pelo fato que essa taxa, de fato, não serem constante. Abaixo descrevemos o modelos clássico usado e algumas variações:
   * **Modelo Clássico**: taxa de decomposição constante:
- $$ \frac{dm}{dt} = -km $$
+Eq. 1. $$ \frac{dm}{dt} = -km $$
 sendo //k// a taxa de decomposição e //m// a massa remanescente.
   * ** Modelo com duas taxas ** Reparte o processo em duas fases, a primeira composta de substâncias mais facilmente degradáveis (p. ex. açucares e proteínas) e a segunda por compostos mais estáveis (p. ex. ligninas, celuloses). Podemos descrever esse processo da seguinte forma:
-$$ \frac{dm}{dt} = -k1 pm + k2 (1-p)m $$
+Eq. 2. $$ \frac{dm}{dt} = -(k1 p + k2 (1-p)) m $$
 sendo //p// a fração da massa inicial que é mais facilmente decomposta, //k1// a taxa para essa fração e //k2// a taxa de decomposição para a outra fração.
-  * ** Taxa diminuindo exponencialmente**. Nesse caso a taxa é modelada desacelerando exponencialmente conforme a massa remanescente diminui.
+** Modelo com  taxas sendo uma função **. Nesse caso a taxa é modelada desacelerando conforme a massa remanescente diminui. Ou seja, o k da Eq. 1, agora é uma função do tempo.
+Eq. 3. $$ \frac{dm}{dt} = f(t)*m$$
+Uma das funções que podem descrever essa diminuição exponencial da eq. 3 é:
+Eq. 4. $$ f(t)=a +b e^{-ht} $$
-$$ \frac{dm}{dt} = k^{-h} m $$
+===== Perguntas =====
-sendo //h// a taxa com que //k// diminui.
+  - Quais as equações de decomposição que descrevem a massa remanescente em função do tempo para as eq. 1, 2?
+  - Qual a solução geral para a equação 3?
+  - Solucione a equação 3, incluindo a função 4, para ter o modelo de decomposição com a taxa diminuindo exponencialmente.
+  - Confirme a solução anterior, primeiro integrando eq.4, e substituindo no solução geral da eq. 3