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questionario:int [2012/05/09 18:38] – [Exercício 2] shalom | questionario:int [2024/01/09 18:18] (atual) – edição externa 127.0.0.1 | ||
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Linha 14: | Linha 14: | ||
e) $ \int _1 ^ \infty \frac{1}{x^2}dx$ | e) $ \int _1 ^ \infty \frac{1}{x^2}dx$ | ||
+ | |||
+ | f) $ \int _0 ^ 1 \sin ( x^{27} ) dy $ (cuidado, pegadinha!) | ||
Quais desses são integrais definidas e quais são integrais indefinidas? | Quais desses são integrais definidas e quais são integrais indefinidas? | ||
===== Exercício 2 ===== | ===== Exercício 2 ===== | ||
- | Em algumas espécies | + | (Use o Maxima) |
- | * $ Q(x) = \frac{N_0W_s}{\sqrt{2\pi}\bar u \sigma_z} \exp \left[ - \frac{ (H-W_sx/ | + | Em algumas espécies o principal fator que leva a dispersão das sementes é o vento. É possível modelar a distribuição das sementes em função da distancia da fonte mecanisticamente, |
+ | |||
+ | * $ Q(x) = \frac{NW_s}{\sqrt{2\pi}\bar u \sigma_z} \exp \left[ - \frac{ (H-W_sx/ | ||
Os parâmetros dessa equação são: | Os parâmetros dessa equação são: | ||
- | * $N_0$: a taxa de produção de sementes na fonte | + | * $N$: a taxa de produção de sementes na fonte |
* $\sigma_z$: o componente vertical da variância no movimento aleatório da semente | * $\sigma_z$: o componente vertical da variância no movimento aleatório da semente | ||
Linha 38: | Linha 42: | ||
(Okubo & Levin, 1989) | (Okubo & Levin, 1989) | ||
- | 1) Vamos encontrar qual e o total de sementes que uma árvore dispersa em um raio de 1m. Para isso, integre a função $Q(x)$ entre 0 e 1. Use $N_0 = 100$, $\sigma_z = W_s = \bar u = H = 1$. | + | 1) Vamos encontrar qual é o total de sementes que uma árvore dispersa em um raio de 1m. Para isso, integre a função $Q(x)$ entre -1 e 1. Use $N = 100$, $\sigma_z = W_s = \bar u = H = 1$. |
- | 2) Qual e a expressão que, para uma certa distancia $d$, da o total de sementes dispersadas entre 0 e d? | + | 2) Qual é o total de sementes dispersadas em [[http:// |
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+ | 3) Qual é a expressão que, para uma certa distancia $d$, dá o total de sementes dispersadas entre 0 e $d$? | ||
* (Nota: ERF? Leia sobre essa função esquisita [[ http:// | * (Nota: ERF? Leia sobre essa função esquisita [[ http:// | ||
- | 3) Mudemos agora nosso ponto de vista. Numa expedição de reconhecimento matemático pelo eixo x, intrépidos exploradores encontraram uma vasta e densa floresta, que se estende do ponto A ate o longínquo ponto B, composta por N fontes de sementes homogeneamente distribuídas. | + | ===== Exercicio |
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+ | No exercicio 2, consideramos a dispersão de sementes no espaço em um tempo fixo (como uma fotografia). Vamos agora observar a produção de sementes ao longo do tempo: agora $N$ sera uma função periódica do tempo para representar as estações do ano: | ||
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+ | * $ N(t) = N_0(\sin(t) + 1) $ | ||
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+ | Vamos usar $N_0 = 100$, e assim, nosso exercício anterior corresponde ao caso em que $\sin(t)=0$ (por exemplo, com $t=0$). | ||
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+ | Agora, nossa função $Q(x, t)$ depende não só de $x$, mas também de $t$: | ||
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+ | $ Q(x, t) = \frac{N(t)W_s}{\sqrt{2\pi}\bar u \sigma_z} \exp \left[ - \frac{ (H-W_sx/ | ||
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+ | 1) Encontre a densidade total de sementes dispersadas na distância entre -1 e 1 no tempo 0, para se certificar de que isso bate com o resultado anterior: $\int _{-1}^1 Q(x, 0) dx$. | ||
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+ | 2) Qual é a densidade de sementes que caem sobre o ponto $x=1$ durante um ciclo anual completo, ou seja, com $t$ variando de 0 a $2 \pi$? Resolva a integral //no tempo//: $ \int _0 ^ {2 \pi} Q(1, t) dt$. | ||
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+ | 3) Encontre uma expressão para a densidade de sementes em momento $t$ qualquer, no raio de x entre -1 e 1. Veja que essa resposta vai ser uma //função de t//, vamos chama-la de $h(t)$, onde $h(t) = \int _{-1}^1 Q(x,t) dx$. | ||
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+ | 4) Use essa função que você achou na questão 2.3 para encontrar a densidade total de sementes dispersadas com x entre -1 e 1 e durante todo um ciclo anual. | ||
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+ | Nesse último exercício, você calculou a integral $ \int _0 ^ {2 \pi} h(t) dt$. Se você escrever a definição de $h(t)$ nessa expressão, vamos chegar a: | ||
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+ | $ \int _0 ^ {2 \pi} \int _{-1} ^ 1 Q(x, t), dx dt $ | ||
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+ | Parabéns! Você acabou de fazer uma [[http:// | ||
+ | ===== Desafio ===== | ||
+ | (Não precisa entregar essa parte, mas leia com carinho!) | ||
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+ | 1) Na questao 2 acima, a nossa produção de sementes está posicionada na origem. Se uma árvore estiver em uma posição genérica x, escreva qual é a expressão da taxa de queda de sementes em um ponto y. | ||
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+ | 2) Mudemos agora nosso ponto de vista. Numa expedição de reconhecimento matemático pelo eixo x, intrépidos exploradores encontraram uma vasta e densa floresta, que se estende do ponto A ate o longínquo ponto B, composta por N fontes de sementes homogeneamente distribuídas. | ||
- | 4) E possível quantificar a taxa de emigração dessa floresta (a taxa de sementes que se fixam para alem de B)? | + | 3) É possível quantificar a taxa de emigração dessa floresta (a taxa de sementes que se fixam para além de B)? |
- | 5) Como ficaria a expressão construída em 3 se a floresta, ao invés de ser homogénea, tivesse suas fontes distribuídas seguindo uma normal? | + | 4) Como ficaria a expressão construída em 2 se a floresta, ao invés de ser homogênea, tivesse suas fontes distribuídas seguindo uma normal? |
- | 6) E se ventasse metade do tempo para cada lado, como ficaria a expressão em 3? | + | 5) E se ventasse metade do tempo para cada lado, como ficaria a expressão em 2? |
- | 7) Usando a expressão obtida em 6, e o teorema fundamental do calculo, descubra o ponto em que se fixa o maior numero de sementes. | + | 6) Usando a expressão obtida em 5, e o teorema fundamental do cálculo, descubra o ponto em que se fixa o maior numero de sementes. |
+ | ====== Reposta ====== | ||
+ | Veja a solução do exercício [[solucao: |