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exercicios:exerc2 [2012/05/14 14:32] – [Taxa de crescimento] adalardo | exercicios:exerc2 [2024/01/09 18:18] (atual) – edição externa 127.0.0.1 | ||
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Linha 14: | Linha 14: | ||
* $ B=bN_T $ | * $ B=bN_T $ | ||
* $ D=dN_T $ | * $ D=dN_T $ | ||
- | onde: b = taxa de nascimento per capita a cada geração ; d = taxa de nascimento | + | onde: b = taxa de nascimento per capita a cada geração ; d = taxa de mortalidade |
Note que a taxa não muda com o tamanho da população, | Note que a taxa não muda com o tamanho da população, | ||
Sendo //T// a escala de uma geração, | Sendo //T// a escala de uma geração, | ||
* $N_{T+1} = N_T + bN_T-dN_T $ | * $N_{T+1} = N_T + bN_T-dN_T $ | ||
- | * $N_{T+1} = NT + (b-d)N_T $ | + | * $N_{T+1} = N_T + (b-d)N_T $ |
se: $r_T = b-d$ ; fator de crescimento discreto | se: $r_T = b-d$ ; fator de crescimento discreto | ||
- | * $N_{t+1} = (1+r_T)N_T$ | + | * $N_{T+1} = (1+r_T)N_T$ |
- | * $\frac{N_{t+1}}{N_T} = 1+r_T$ | + | * $\frac{N_{T+1}}{N_T} = 1+r_T$ |
Como $ 1+r_T $ é uma constante, vamos designá-la como $\lambda$, um número positivo que mede o aumento proporcional da população de uma geração a outra. Portanto: | Como $ 1+r_T $ é uma constante, vamos designá-la como $\lambda$, um número positivo que mede o aumento proporcional da população de uma geração a outra. Portanto: | ||
- | * $\lambda=\frac{N_{t+1}}{N_T} $, ou: | + | * $\lambda=\frac{N_{T+1}}{N_T} $, ou: |
$$ N_{T+1} = \lambda N_T$$ | $$ N_{T+1} = \lambda N_T$$ | ||
Linha 47: | Linha 47: | ||
Note que: | Note que: | ||
- | * $N_{t4}= N_{t0} \lambda \lambda\lambda\lambda $ | + | * $N_{T4}= N_{T0} \lambda \lambda\lambda\lambda $ |
- | * $N_{t4}= N_{t0} \lambda^4 $ | + | * $N_{T4}= N_{T0} \lambda^4 $ |
Essa equação recursiva pode ser escrita como: | Essa equação recursiva pode ser escrita como: | ||
- | $$N_{t}=\lambda^t N_0 $$ | + | $$N_{T}=\lambda^T N_0 $$ |
Vamos pegar nosso exemplo anterior e projetá-lo para 10 ciclos de tempo. | Vamos pegar nosso exemplo anterior e projetá-lo para 10 ciclos de tempo. | ||
Linha 95: | Linha 95: | ||
O que está acontecendo?? | O que está acontecendo?? | ||
- | Vamos investigar a equação que estamos usando, $N_t=\lambda^t N_0$ e tirar o log dos dois lados da equação: | + | Vamos investigar a equação que estamos usando, $N_t=\lambda^T N_0$ e tirar o log dos dois lados da equação: |
- | * $log{N_t} = log{\lambda^t N_0}$ | + | * $log{N_T} = log{\lambda^T N_0}$ |
- | * $ log{N_t} = (log{\lambda}) | + | * $ log{N_T} = (log{\lambda}) |
Essa equação lembra uma equação da reta $ y=ax+b $, onde o intercepto é $log(N_0)$ e a inclinação é iqual a $log{\lambda}$. | Essa equação lembra uma equação da reta $ y=ax+b $, onde o intercepto é $log(N_0)$ e a inclinação é iqual a $log{\lambda}$. | ||
Linha 106: | Linha 106: | ||
===== Média do Crescimento Populacional ===== | ===== Média do Crescimento Populacional ===== | ||
{{: | {{: | ||
- | Vamos agora investigar os dados do tamanho populacional de uma espécie de pardal norte-americano (//Melopiza melodia// | + | Vamos agora investigar os dados do tamanho populacional de uma espécie de pardal norte-americano (//Melopiza melodia// |
<box 320 green> | <box 320 green> | ||
{{ : | {{ : | ||
Linha 118: | Linha 118: | ||
pardal< | pardal< | ||
str(pardal) | str(pardal) | ||
+ | head(pardal) | ||
pardal6= pardal[1: | pardal6= pardal[1: | ||
plot(pardal6$Count ~pardal6$Year) | plot(pardal6$Count ~pardal6$Year) | ||
Linha 177: | Linha 178: | ||
Agora, vamos supor que essa mesma população tenha dois ciclos reprodutivos anuais, portanto temos que modelar seu crescimento por semestre, o que equivale a dizer que: | Agora, vamos supor que essa mesma população tenha dois ciclos reprodutivos anuais, portanto temos que modelar seu crescimento por semestre, o que equivale a dizer que: | ||
* $N_1=N_0 (1+0.5/ | * $N_1=N_0 (1+0.5/ | ||
- | Ou seja, essa população tem uma taxa de crescimento de $\lambda = 1+ 0.25 $ por semestre. Trimestralmente teria uma taxa de (1 + 0.5/3)^3 e assim por diante, podemos então descrever: | + | Ou seja, essa população tem uma taxa de crescimento de $\lambda = 1+ 0.25 $ por semestre. Trimestralmente teria uma taxa de (1 + 0.5/4)^4 e assim por diante, podemos então descrever: |
$$ \frac{N_1}{N_0}= (1+\frac{r_d}{n})^n $$ | $$ \frac{N_1}{N_0}= (1+\frac{r_d}{n})^n $$ | ||
Linha 283: | Linha 284: | ||
===== Estocasticidade Ambiental ===== | ===== Estocasticidade Ambiental ===== | ||
- | Flutuações ambientais podem exercer efeito na taxa de crescimento instantâneo da população. De uma forma simples, podemos imaginar que essa variação funcione como um ruído no //r//, como se a população em média tivesse uma taxa, mas a cada realização ela pudesse ser um tanto diferente devido a condições externar a ela própria. | + | Flutuações ambientais podem exercer efeito na taxa de crescimento instantâneo da população. De uma forma simples, podemos imaginar que essa variação funcione como um ruído no //r//, como se a população em média tivesse uma taxa, mas a cada realização ela pudesse ser um tanto diferente devido a condições externar a ela própria. A implementação dessa estocasticidade ambiental em modelos contínuos é um pouco mais complicada, mas podemos imaginá-la como realizações em algum intervalo pequeno de tempo. |
- | Nesse caso teríamos | + | Para um crescimento discreto a construção de simulações com estocasticidade ambiental é mais intuitivo: a cada realização |
< | < | ||
- | + | npop=10 | |
- | re = rnorm(10, mean=0.3, sd=0.05) | + | n0=10 |
- | temp= 1:10 | + | lamb.med = 1.2 |
- | N0=1 | + | lamb.sd= 0.4 |
- | tam.pop=N0*exp(re*temp) | + | lamb = rnorm(npop, mean=lamb.med, sd=lamb.sd) |
- | plot(1:10, tam.pop, type=" | + | N0=rep(n0, |
- | lines(1:10, exp(1:10*0.3), lwd=2) | + | N1=lamb*N0 |
+ | lamb=rnorm(npop, | ||
+ | N2=N1*lamb | ||
+ | N3=N2*rnorm(npop, | ||
+ | N4=N3*rnorm(10,mean=lamb.med,sd=lamb.sd) | ||
+ | N5=N4*rnorm(10,mean=lamb.med, | ||
+ | Nt< | ||
+ | matplot(0:5, Nt, type=" | ||
</ | </ | ||
- | |||
==== Desafio ==== | ==== Desafio ==== | ||
- | É possível adaptar a nossas | + | É possível adaptar a nossas |
<box 70% green |Dicas> | <box 70% green |Dicas> | ||
O primeiro passo sempre e pensar quais argumentos vamos precisar | O primeiro passo sempre e pensar quais argumentos vamos precisar | ||
- | Nesse caso, temos apenas mais um argumento o **//dpr//** : o desvio padrão de //r//. O resto continua o mesmo, lembre-se que se o **//dpr//** for 0, nosso população é determinística! Ou seja, a mesma função pode se prestar para simular ambos cenários. | + | Nesse caso, temos apenas mais um argumento o **//lamb.dp//** : o desvio padrão de //lambda//. O resto continua o mesmo, lembre-se que se o **//lamb.dp//** for 0, nosso população é determinística! Ou seja, a mesma função pode se prestar para simular ambos cenários. |