Diferenças

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--- exercicios:exerc2 [2012/05/14 14:17] – [Crescimento Contínuo] adalardo
+++ exercicios:exerc2 [2012/05/16 14:33] – [Estocasticidade Ambiental] adalardo
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 ===== Taxa de crescimento =====
-Vamos imaginar agora uma população hipotética com taxas constante de crescimento e mortalidade e sem migrações. A cada ciclo de tempo (p.ex: ano), o tamanho da população é o resultado do número de indivíduos no tempo anterior mais números de nascimentos (B), menos mortes (D).
+Vamos imaginar agora uma população hipotética com taxas constante de crescimento e mortalidade e sem migrações. A cada ciclo de tempo relacionado a uma geração (T), o tamanho da população é o resultado do número de indivíduos da geração anterior mais números de nascimentos (B), menos mortes (D).
-$$N_{t+1} = N_t + B - D $$
+$$N_{T+1} = N_T + B - D $$
-Como a taxa de nascimento é constante, assim como a mortalidade, podemos dizer que:
+Podemos relacionar o número de mortes e nascimentos a um valor per capita:
-  * $ B=bN_t $
+  * $ B=bN_T $
-  * $ D=dN_t $
+  * $ D=dN_T $
-onde: b = taxa de nascimento per capita anual ; d = taxa de nascimento per capita anual.
+onde: b = taxa de nascimento per capita a cada geração ; d = taxa de mortalidade per capita a cada geração.
 Note que a taxa não muda com o tamanho da população, entretanto, o número de nascimentos e mortes é proporcional ao tamanho populacional. Vamos apenas deixar claro mais uma premissa, para fins didáticos: os nascimentos e mortalidades ocorrem simultaneamente na população (p.ex: uma planta anual).
+Sendo //T// a escala de uma geração,  podemos então dizer que :
+  * $N_{T+1} = N_T + bN_T-dN_T $
+  * $N_{T+1} = N_T + (b-d)N_T $
+se: $r_T = b-d$ ; fator de crescimento discreto
+  * $N_{T+1} = (1+r_T)N_T$
+  * $\frac{N_{T+1}}{N_T} = 1+r_T$
+Como $ 1+r_T $ é uma constante, vamos designá-la como $\lambda$, um número positivo que mede o aumento proporcional da população de uma geração a outra. Portanto:
+  * $\lambda=\frac{N_{T+1}}{N_T} $, ou:
-Podemos então dizer que :
+$$ N_{T+1} = \lambda N_T$$
-  * $N_{t+1} = N_t + bN_t-dN_t $
-  * $N_{t+1} = Nt + (b-d)N_t $
-se: $r_t = b-d$ ; fator de crescimento discreto
-  * $N_{t+1} = (1+r_t)N_t$
-  * $\frac{N_{t+1}}{N_t} = 1+r_t$
-Como $ 1+r_t $ é uma constante, vamos designá-la como $\lambda$, um número positivo que mede o aumento proporcional da população de um ciclo de tempo para outro. Portanto:
-  * $\lambda=\frac{N_{t+1}}{N_t} $, ou:
-$$ N_{t+1} = \lambda N_t$$
 ===== Projetando a População =====
-Podemos então projetar a nossa população a cada ciclo de tempo. Por exemplo:
+Podemos então projetar a nossa população a cada ciclo de tempo (gerações). Por exemplo:
 Se uma população com 100 indivíduos tem uma taxa per capita de natalidade de 0,8/ano e de mortalidade de 0,75/ano, qual o tamanho esperado da população no próximo ano?
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 </code>
-Podemos também projetar a população para outros tempos, usando iterações:
+Podemos também projetar a população para outras gerações, usando iterações:
 <code>
 (Nt2=Nt1*lamb)
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 Note que:
-  * $N_{t4}= N_{t0} \lambda \lambda\lambda\lambda $
+  * $N_{T4}= N_{T0} \lambda \lambda\lambda\lambda $
-  * $N_{t4}= N_{t0} \lambda^4 $
+  * $N_{T4}= N_{T0} \lambda^4 $
 Essa equação recursiva pode ser escrita como:
-$$N_{t}=\lambda^t N_0 $$
+$$N_{T}=\lambda^T N_0 $$
 Vamos pegar nosso exemplo anterior e projetá-lo para 10 ciclos de tempo.
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 O que está acontecendo?? Parece que todas as populações crescem igualmente quando estamos em uma escala logarítmica!
-Vamos investigar a equação que estamos usando, $N_t=\lambda^t N_0$ e tirar o log dos dois lados da equação:
+Vamos investigar a equação que estamos usando, $N_t=\lambda^T N_0$ e tirar o log dos dois lados da equação:
-  * $log{N_t} = log{\lambda^t N_0}$
+  * $log{N_T} = log{\lambda^T N_0}$
-  * $ log{N_t} = (log{\lambda}) t + log{N_0} $
+  * $ log{N_T} = (log{\lambda}) T + log{N_0} $
 Essa equação lembra uma equação da reta $ y=ax+b $, onde o intercepto é $log(N_0)$ e a inclinação é iqual a $log{\lambda}$.
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 ===== Média do Crescimento Populacional =====
 {{:exercicios:pardal.jpg?200  |}}
-Vamos agora investigar os dados do tamanho populacional de uma espécie de pardal norte-americano (//Melopiza melodia//).
+Vamos agora investigar os dados do tamanho populacional de uma espécie de pardal norte-americano (//Melopiza melodia//) partindo da premissa que essa população cresce em tempo discreto, já que os nascimentos ocorrem em um intervalo curto de tempo de nidificação a cada ano.
 <box 320 green>
 {{  :exercicios:parda.png?300  |}}
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 pardal<-read.table("pardal.txt", header=TRUE, sep="\t", as.is=TRUE)
 str(pardal)
+head(pardal)
 pardal6= pardal[1:6,]
 plot(pardal6$Count ~pardal6$Year)
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 ===== Crescimento Contínuo =====
-Nem todos os organismos são como pardais que tem uma época reprodutiva bem definida e que, em parte, podem ser modelados com o tempo discreto. Mesmo partindo da premissa que todos os nascimentos ocorrem em um curto intervalo de tempo anualmente, a mortalidade ocorre continuamente nessas populações. Para a grande maioria das populações, como da bactéria //Eschelichia coli//, onde nascimentos (divisões) ocorrem praticamente a qualquer instante e são assincrônicas, o crescimento discreto não parece uma boa descrição do fenômeno.
+Nem todos os organismos são como plantas que tem uma época reprodutiva bem definida e que, em parte, podem ser modelados com o tempo discreto. Mesmo partindo da premissa que todos os nascimentos ocorrem em um curto intervalo de tempo anualmente (como no caso dos pardais), a mortalidade ocorre continuamente nessas populações. Para a grande maioria das populações nascimentos ocorrem praticamente a qualquer instante e são assincrônicas, o crescimento discreto não parece uma boa descrição desse fenômeno.
 Vamos modelar uma população que tem uma taxa de crescimento anual de $\lambda = 1,5$.
    * $N_1=N_0 \lambda$ , ou:
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 Agora, vamos supor que essa mesma população tenha dois ciclos reprodutivos anuais, portanto temos que modelar seu crescimento por semestre, o que equivale a dizer que:
    * $N_1=N_0 (1+0.5/2)^2  -> N_0(1+0.25)^2$
-Ou seja, essa população tem uma taxa de crescimento de $\lambda = 1+ 0.25 $ por semestre. Trimestralmente teria uma taxa de (1 + 0.5/3)^3 e assim por diante, podemos então descrever:
+Ou seja, essa população tem uma taxa de crescimento de $\lambda = 1+ 0.25 $ por semestre. Trimestralmente teria uma taxa de (1 + 0.5/4)^4 e assim por diante, podemos então descrever:
 $$ \frac{N_1}{N_0}= (1+\frac{r_d}{n})^n $$
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 ===== Estocasticidade Ambiental =====
-Flutuações ambientais podem exercer efeito na taxa de crescimento instantâneo da população. De uma forma simples, podemos imaginar que essa variação funcione como um ruído no //r//, como se a população em média tivesse uma taxa, mas a cada realização ela pudesse ser um tanto diferente devido a condições externar a ela própria.
+Flutuações ambientais podem exercer efeito na taxa de crescimento instantâneo da população. De uma forma simples, podemos imaginar que essa variação funcione como um ruído no //r//, como se a população em média tivesse uma taxa, mas a cada realização ela pudesse ser um tanto diferente devido a condições externar a ela própria. A implementação dessa estocasticidade ambiental em modelos contínuos é um pouco mais complicada, mas podemos imaginá-la como realizações em algum intervalo pequeno de tempo.
-Nesse caso teríamos um //re//: o r estocástico. Abaixo criamos sorteamos 10 //re//'s de uma distribuição normal com média 0.3 e desvio padrão de 0.01.
+Para um crescimento discreto a construção de simulações com estocasticidade ambiental é mais intuitivo: a cada realização o Lambda é afetado pela variação ambiental. Vamos fazê-la.
 <code>
+npop=10
-re = rnorm(10, mean=0.3, sd=0.05)
+n0=10
-temp= 1:10
+lamb.med = 1.2
-N0=1
+lamb.sd= 0.4
-tam.pop=N0*exp(re*temp)
+lamb = rnorm(npop, mean=lamb.med, sd=lamb.sd)
-plot(1:10, tam.pop, type="l", lty=2)
+N0=rep(n0,npop)
-lines(1:10, exp(1:10*0.3), lwd=2)
+N1=lamb*N0
+lamb=rnorm(npop, mean=lamb.med, sd=lamb.sd)
+N2=N1*lamb
+N3=N2*rnorm(npop,mean=lamb.med,sd=lamb.sd)
+N4=N3*rnorm(10,mean=lamb.med,sd=lamb.sd)
+N5=N4*rnorm(10,mean=lamb.med,sd=lamb.sd)
+Nt<-rbind(N0,N1,N2,N3,N4,N5)
+matplot(0:5, Nt, type="l", lty=2:7)
 </code>
 ==== Desafio ====
-É possível adaptar a nossas funções anteriores para que possa também modelar populações com estocasticidade ambiental!
+É possível adaptar a nossas função anterior de crescimento discreto para que possa também modelar populações com estocasticidade ambiental!
 <box 70% green |Dicas>
 O primeiro passo sempre e pensar quais argumentos vamos precisar
-Nesse caso, temos apenas mais um argumento o **//dpr//** : o desvio padrão de //r//. O resto continua o mesmo, lembre-se que se o **//dpr//** for 0, nosso população é determinística! Ou seja, a mesma função pode se prestar para simular ambos cenários.
+Nesse caso, temos apenas mais um argumento o **//lamb.dp//** : o desvio padrão de //lambda//. O resto continua o mesmo, lembre-se que se o **//lamb.dp//** for 0, nosso população é determinística! Ou seja, a mesma função pode se prestar para simular ambos cenários.