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exercicios:exe3 [2012/05/16 19:14] – [Crescimento Logístico com Retardo] shalom | exercicios:exe3 [2024/01/09 18:18] (atual) – edição externa 127.0.0.1 |
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<box green 80%|Desafio: Resolução Algébrica > | <box green 80%|Desafio: Resolução Algébrica > |
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Como somos desconfiados, assim como todo cientista, resolvemos colocar em prova a resolução apresentada pelo Gotelli. Use o Maxima para resolver a equação diferencial do Crescimento Logístico, dicas: | Como somos desconfiados, assim como todo cientista, resolvemos colocar em prova a resolução apresentada pelo Gotelli. Use o Maxima (ou o site do [[http://www.wolframalpha.com/]]) ((a expressão que deve ser colocada no site é: n'(t)=n(t)*r*(1- n(t)/K) ))para resolver a equação diferencial do Crescimento Logístico, dicas: |
* lembre-se que a constante de integração (%c) é equivalente ao estado inicial (N0) | * lembre-se que a constante de integração (%c) é indeterminada e para chegar a uma expressão que faça sentido deve, em algum momento na simplificação da resolução, resolver a equação para o estado inicial $t= 0$, assim substitui o %c por uma expressão que contém N0: a situação inicial de nossa população. |
* caso não consiga simplificar a expressão para chegar a mesma representação, não desespere... é difícil mesmo! | * caso não consiga simplificar a expressão para chegar à mesma representação, não desespere... é difícil mesmo! Vc. pode alternativamente, testar se a expressão resultante, isolada para N(t), produz o mesmo resultado que a solução do Gotelli, simulando populações com as duas expressões e comparando os resultados em gráficos. |
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===== Integração Numérica do Crescimento Logístico ===== | ===== Integração Numérica do Crescimento Logístico ===== |
{{:exercicios:poptrem.jpg?200 | }}A regessão logística é uma equação diferencial ordinária. Podemos resolver essa equação para um dado intervalo de tempo utilizando integração numérica. A técnica consiste basicamente em transformar os passos infinitamente pequenos do cálculo (dx) em passos muito pequenos, porém finitos. O pacote deSolve do R contém a função ode que faz o serviço por nós! Abaixo descrevemos um função básica para integração numérica da função logística. Precisamos primeiro definir a função básica, no caso uma logística contínua. | {{:exercicios:poptrem.jpg?200 | }}A regessão logística é uma equação diferencial ordinária. Podemos resolver essa equação para um dado intervalo de tempo utilizando integração numérica. A técnica consiste basicamente em transformar os passos infinitamente pequenos do cálculo (dx) em passos muito pequenos, porém finitos. O pacote deSolve do R contém a função ode que faz o serviço por nós! Abaixo descrevemos um função básica para integração numérica da função logística. Precisamos primeiro definir a função básica, no caso uma logística contínua. |
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plot(res[,1], res[,2], main="Crescimento Logístico", type="l", xlab="Tempo", ylab="N", col="red" ) | plot(res[,1], res[,2], main="Crescimento Logístico", type="l", xlab="Tempo", ylab="N", col="red" ) |
legend("topleft", "N0=1;r = 1; K = f100", bty="n") | legend("topleft", "N0=1;r = 1; K = 100", bty="n") |
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====== Estocasticidade Ambiental ====== | ====== Estocasticidade Ambiental ====== |
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Vamos partir da equação logística acima e sua solução integração numérica para criar uma situação com estocasticidade ambiental. Nessa função teremos três parâmetros: | Vamos partir da equação logística acima e sua solução integração numérica para criar uma situação com estocasticidade ambiental. No caso do modelo exponencial a estocasticidade estava representada por uma variação no //r//, na logística vamos modelar a uma variação aleatória na capacidade de suporte. |
* rmedio: uma taxa média do crescimento populacional | Nessa função teremos três parâmetros: |
* varr: uma variância do rmedio | * r: taxa de crescimento populacional |
* K: capacidade de suporte | * K: capacidade de suporte |
| * varK: uma variância do K |
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<code> | <code> |
{ | { |
n<-y[1] | n<-y[1] |
r<-rnorm(1,mean=parms[1],sd=sqrt(parms[2])) | r<-parms[1] |
K<-parms[3] | K<-rnorm(1,mean=parms[2],sd=sqrt(parms[3])) |
dN.dt<-r* n* (1- n/K) | dN.dt<-r* n* (1- n/K) |
return(list(c(dN.dt))) | return(list(c(dN.dt))) |
} | } |
y0 = c(1) | y0 = c(10) |
prmt=c(rmedio=0.1, varr=0.1, K=10) | prmt=c(r=0.15, K=30, varK=20) |
st=seq(0.1,200,by=0.01) | st=seq(0,100,by=0.01) |
res.clogEst= ode(y=y0,times=st, func=clogEst,parms=prmt) | res.clogEst= ode(y=y0,times=st, func=clogEst,parms=prmt) |
plot(res.clogEst[,1], res.clogEst[,2], type="l", col="red",lwd=2, xlab="tempo", ylab="y") | plot(res.clogEst[,1], res.clogEst[,2], type="l", col="red",lwd=2, xlab="tempo", ylab="y") |
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* Use as simulações com estocasticidade ambiental para reponder: | * Use as simulações com estocasticidade ambiental para reponder: |
* Qual parâmetros aumentam a amplitude da oscilação e qual o paralelo com a biologia? | * Qual parâmetros aumentam a amplitude da oscilação e qual a interpretação biológica? |
* É possível ocorrer extinção da população com taxas de crescimento positivo? Demonstre com simulações. | * É possível ocorrer extinção da população com taxas de crescimento positivo? Demonstre com simulações. |
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====== Crescimento Logístico com Retardo ====== | ====== Crescimento Logístico com Retardo ====== |
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