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exercicios:calc [2012/05/07 14:15] – [Regra 7: quociente] adalardo | exercicios:calc [2024/01/09 18:18] (atual) – edição externa 127.0.0.1 | ||
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Linha 46: | Linha 46: | ||
nbact= c(2, | nbact= c(2, | ||
plot(tempo, nbact) ## ficou feinho! Vamos fazer um mais bacana! | plot(tempo, nbact) ## ficou feinho! Vamos fazer um mais bacana! | ||
- | plot(tempo, | + | plot(tempo, |
</ | </ | ||
Linha 104: | Linha 104: | ||
Note que os valores de todos os tempos convergem da seguinte maneira quanto o $\Delta t \to 0 $: | Note que os valores de todos os tempos convergem da seguinte maneira quanto o $\Delta t \to 0 $: | ||
- | ^ t ^ $${N(t + \Delta t) - N(t)} / {\Delta t} $$ ^ | + | ^ t ^ $\frac{N(t + \Delta t) - N(t)} {\Delta t} $ ^ |
| 1 | 2 | | | 1 | 2 | | ||
| 2 | 4 | | | 2 | 4 | | ||
Linha 118: | Linha 118: | ||
na forma de derivada: | na forma de derivada: | ||
- | * $frac{dN}{dt}$ | + | * $\frac{dN}{dt}$ |
Como a derivada se aplica a qualquer função vamos, a partir de agora usar uma notação mais geral: | Como a derivada se aplica a qualquer função vamos, a partir de agora usar uma notação mais geral: | ||
* $\frac{f(x + \Delta x) - f(x)} {\Delta x} $ | * $\frac{f(x + \Delta x) - f(x)} {\Delta x} $ | ||
- | Derivada da função $ f(x)$ | + | Derivada da função $ f(x)$: |
- | * $ {df(x)}/dx $ | + | * $ \frac{df(x)}{dx} $ |
===== Explorando Graficamente ===== | ===== Explorando Graficamente ===== | ||
{{: | {{: | ||
Linha 140: | Linha 140: | ||
tmat=matrix(tx, | tmat=matrix(tx, | ||
dt=c(0.5, | dt=c(0.5, | ||
- | dtmat=matrix(dt, | + | dtmat=matrix(dt, |
Nt=tx^2 | Nt=tx^2 | ||
Ntmat=matrix(Nt, | Ntmat=matrix(Nt, | ||
- | tdt=tmat+dt | + | tdt=tmat+dtmat |
Ntdt=tdt^2 | Ntdt=tdt^2 | ||
Ntdt | Ntdt | ||
- | taxa = (Ntdt - Nt)/dt | + | taxa = (Ntdt - Nt)/dtmat |
taxa.diff=round(taxa[, | taxa.diff=round(taxa[, | ||
taxa.diff | taxa.diff | ||
Linha 188: | Linha 188: | ||
</ | </ | ||
===== FUNÇÃO TANG ===== | ===== FUNÇÃO TANG ===== | ||
- | {{: | + | {{: |
Essa função chamada // | Essa função chamada // | ||
Linha 200: | Linha 200: | ||
< | < | ||
- | source(" | + | source(" |
deriva_tang(expression(x^2)) | deriva_tang(expression(x^2)) | ||
deriva_tang(expression(x^3+ 3*x^2 -8), nder=20) | deriva_tang(expression(x^3+ 3*x^2 -8), nder=20) | ||
Linha 224: | Linha 224: | ||
A derivada de uma função linear é uma constante definida pela inclinação da reta | A derivada de uma função linear é uma constante definida pela inclinação da reta | ||
* $f(x)= ax + b $ | * $f(x)= ax + b $ | ||
- | // | + | |
* $\frac{df(x)}{dx} = a $ | * $\frac{df(x)}{dx} = a $ | ||
Linha 230: | Linha 230: | ||
Essa regra foi o nosso exemplo acima. A derivada de uma função quadrática é uma função linear: | Essa regra foi o nosso exemplo acima. A derivada de uma função quadrática é uma função linear: | ||
* $f(x)= ax^2 + bx + c $ | * $f(x)= ax^2 + bx + c $ | ||
- | // | + | |
* $\frac{df(x)}{dx} = 2ax+ b $ | * $\frac{df(x)}{dx} = 2ax+ b $ | ||
==== Regra 4: polinômios ==== | ==== Regra 4: polinômios ==== | ||
É a generalização da função quadrática, | É a generalização da função quadrática, | ||
- | * $f(x)= ax^n + bx^(n-1) + cx^(n-2) +... yx + z $ | + | * $f(x)= ax^n + bx^{n-1} + cx^{n-2} +... yx + z $ |
// | // | ||
* onde: $ a, b, c,... z $ são constantes | * onde: $ a, b, c,... z $ são constantes | ||
// | // | ||
- | * $\frac{df(x)}{dx} = anx^(n-1) + b(n-1)x^(n-2) + c(n-2)x^(n-3) + ... y $ | + | * $\frac{df(x)}{dx} = anx^{n-1} + b(n-1)x^{n-2} + c(n-2)x^{n-3} + ... y $ |
Como pode ser deduzido da regra acima, a derivada de um polinômio de grau $n$ é uma função polinômial de grau $n-1$. | Como pode ser deduzido da regra acima, a derivada de um polinômio de grau $n$ é uma função polinômial de grau $n-1$. | ||
==== Regra 5: soma ==== | ==== Regra 5: soma ==== | ||
Linha 255: | Linha 255: | ||
==== Regra 8: cinco casos ==== | ==== Regra 8: cinco casos ==== | ||
* Exponencial: | * Exponencial: | ||
- | * $$ {d(exp(x))}/dx = exp(x) | + | * $ \frac{d(exp(x))}{dx} = exp(x) $ |
* Logaritmo: | * Logaritmo: | ||
- | * $${d(ln(x))}/dx = 1/x $$ | + | * $\frac{d(ln(x))}{dx} = \frac{1}{x} $ |
* Seno: | * Seno: | ||
- | * $${d(sin(x))}/dx = cos(x) | + | * $\frac{d(sin(x))}{dx} = cos(x) $ |
* Coseno: | * Coseno: | ||
- | * $${d(cos(x))}/dx = -sin(x) | + | * $\frac{d(cos(x))}{dx} = -sin(x) $ |
* Potência: | * Potência: | ||
- | * $${d(x^n)}/dx = nx^(n-1) $$ | + | * $\frac{d(x^n)}{dx} = nx^{n-1} $ |
- | + | ==== Regra 9: composição ==== | |
+ | * $ \frac {d \left[ f ( g (x) ) \right]}{dx} = f\prime(g(x)) | ||
===== Exercícios ===== | ===== Exercícios ===== | ||
Use as regras acima e encontre as derivadas das seguintes funções: | Use as regras acima e encontre as derivadas das seguintes funções: | ||
Linha 270: | Linha 271: | ||
^ Exercícios na Mão ^^^^^^ | ^ Exercícios na Mão ^^^^^^ | ||
- | - $$ f(x) = exp(x) + x^7$$ | + | - $ f(x) = exp(x) + x^7$ |
- | - $$ f(x) = x + sin(x) | + | - $ f(x) = x + sin(x) $ |
- | - $$ f(x) = 5x^3 + 2$$ | + | - $ f(x) = 5x^3 + 2$ |
- | - $$ f(x) = cos(x) + sin(x) | + | - $ f(x) = cos(x) + sin(x) $ |
- | - $$ f(x) = x^2 + x^3cos(x)$$ | + | - $ f(x) = x^2 + x^3cos(x)$ |
- | - $$ f(x) = exp(x) ln(x) $$ | + | - $ f(x) = exp(x) ln(x) $ |
- | - $$ f(x) = x^5sin(x)$$ | + | - $ f(x) = x^5sin(x)$ |
- | - $$ f(x) = 1/x $$ | + | - $ f(x) = \frac{1}{x} $ |
- | - $$ f(x) = 1/x^2 $$ | + | - $ f(x) = \frac{1}{x^2} $ |
- | - $$ f(x) = exp(x)/x $$ | + | - $ f(x) = \frac{exp(x)}{x} $ |
- | - $$ f(x) = sin(x)/x^2$$ | + | - $ f(x) = \frac{sin(x)}{x^2}$ |
+ | - $ f(x) = ln(x^2-1)$ | ||
+ | - $ f(x) = exp(x^3+ x -1)$ | ||
===== Maxima ===== | ===== Maxima ===== | ||
Linha 294: | Linha 297: | ||
Neste tutorial introdutório ((turorial baseado na documentação oficial do programa, modificado por --- // | Neste tutorial introdutório ((turorial baseado na documentação oficial do programa, modificado por --- // | ||
*[[maxima|TUTORIAL MÁXIMA]] | *[[maxima|TUTORIAL MÁXIMA]] | ||
+ | |||
Linha 300: | Linha 304: | ||
Abra o arquivo abaixo no Maxima e tente acompanhar os passos, lembrando o que foi apresentado em aula. Qualquer dúvida, lembre-se de usar o F1 (help) do wxMaxima. | Abra o arquivo abaixo no Maxima e tente acompanhar os passos, lembrando o que foi apresentado em aula. Qualquer dúvida, lembre-se de usar o F1 (help) do wxMaxima. | ||
- | * {{: | + | |
===== Exercícios ===== | ===== Exercícios ===== | ||
- | Agora só falta os exercícios. Eles deverão ser postados no wiki até a próxima aula, ou seja na quarta-feira. Eles fazem parte da avaliação no curso, portanto não deixem de postá-los. | ||
* Exercícios [[questionario: | * Exercícios [[questionario: |