Crescimento Logístico

• Solução da Equação diferencial:

$$\frac{dn(t)}{dt} = r (-\frac{n(t)}{K}+1) n(t)$$:

• Divide ambos lados por $-\frac{n(t)}{K}+1 $:
  • $\frac{\frac{dn(t)}{dt}}{(-\frac{n(t)}{K}+1) n(t))} = r$
• Integra ambos lados em relação a t:
• $\int \frac{ \frac{dn(t)}{dt}} {(-\frac{n(t)}{K}+1) n(t))} dt = \int r dt$

Avaliando:

• $K (\frac{-(log(-K+n(t))}{K}+\frac{log(n(t))}{K}) = r t + c_1 $

Resolvendo para N(t): $$N(t) = \frac{K e^{r t+c_1}}{e^{r t+c_1}-1}$$

• $N_0 = \frac{K e^{c_1}}{e^{c_1}-1}$

resolvendo para c1:

• $c_1= -\log{(\frac{-K+m}{m})}$

Substituindo $c_1= -\log{(\frac{-K+m}{m})}$ em $N(t) = \frac{K e^{r t+c_1}}{e^{r t+c_1}-1}$:

$$N(t) = \frac{K N_0 e^{r t}}{K+ N_0 (e^{r t}-1)} $$

Aqui me pareceu bom! É uma formula que é inteligível e podemos usar em nossos exercícios. Podemos verificar se ela é correspondente a outra, simulando populações… funciona! Ou podemos simplificá-la ainda mais para chegar a mesma expressão:

Agora só faltam ainda alguns passos: (1) multiplique divisor e dividendo por $N_0e^{-rt}$, (2) simplifique e em algum ponto (3) substitua a expressão $N_0 K -1$ por $\frac{K-N_0}{N_0}$