====== Crescimento Logístico ======

  * Solução da Equação diferencial:
 
$$\frac{dn(t)}{dt} = r (-\frac{n(t)}{K}+1) n(t)$$:

  * Divide ambos lados por  $-\frac{n(t)}{K}+1 $:
      *  $\frac{\frac{dn(t)}{dt}}{(-\frac{n(t)}{K}+1) n(t))}  =  r$
  * Integra ambos lados em relação a t:
  * $\int \frac{ \frac{dn(t)}{dt}}  {(-\frac{n(t)}{K}+1) n(t))} dt  =   \int r dt$
Avaliando:

  * $K (\frac{-(log(-K+n(t))}{K}+\frac{log(n(t))}{K})  =  r t + c_1 $ 

Resolvendo para N(t):
$$N(t) = \frac{K e^{r t+c_1}}{e^{r t+c_1}-1}$$

===== Resolvendo para N(0)=N0 =====

  * $N_0 = \frac{K e^{c_1}}{e^{c_1}-1}$
resolvendo para c1:
  * $c_1= -\log{(\frac{-K+m}{m})}$ 

Substituindo $c_1= -\log{(\frac{-K+m}{m})}$ em $N(t) = \frac{K e^{r t+c_1}}{e^{r t+c_1}-1}$:

$$N(t) = \frac{K N_0 e^{r t}}{K+ N_0 (e^{r t}-1)}  $$

Aqui me pareceu bom! É uma formula que é inteligível e podemos usar em nossos exercícios. Podemos verificar se ela é correspondente a outra, simulando populações... funciona! Ou podemos simplificá-la ainda mais para chegar a mesma expressão:

** Agora só faltam ainda alguns passos: (1)  multiplique divisor e dividendo por $N_0e^{-rt}$, (2) simplifique e em algum ponto (3) substitua a expressão $N_0 K -1$ por $\frac{K-N_0}{N_0}$ **