====== Exercícios ODE ======

====== Exercício 1 ======
Faça a representação geométrica do exemplo de solução numérica do nosso tutorial [[exercicios:calc1#Soluções Numéricas|]], mostrando cada estágio da aproximação para $\Delta t = $ 0.1 e 0.5 e 1.

** não precisa fazer isso no R, pode ser feito na mão, ou no Excel((URGG!!!)) ** 


===== Exercício 2 =====

O processo de decomposição de serapilheira (folhas e outros materiais orgânicos caídos no solo) é de extrema importância para a ciclagem de nutrientes em vegetações onde os solos são pouco férteis. Normalmente o processo é modelado com a taxa de decaimento (porcentagem de massa remanescente pelo tempo) sendo constante. Apesar desses modelos se ajustarem a dados empíricos, por vezes não conseguem descrever o processo pelo fato que essa taxa, de fato, não serem constante. Abaixo descrevemos o modelos clássico usado e algumas variações:
  * **Modelo Clássico**: taxa de decomposição constante:
Eq. 1. $$ \frac{dm}{dt} = -km $$

sendo //k// a taxa de decomposição e //m// a massa remanescente.

  * ** Modelo com duas taxas ** Reparte o processo em duas fases, a primeira composta de substâncias mais facilmente degradáveis (p. ex. açucares e proteínas) e a segunda por compostos mais estáveis (p. ex. ligninas, celuloses). Podemos descrever esse processo da seguinte forma:
Eq. 2. $$ \frac{dm}{dt} = -(k1 p + k2 (1-p)) m $$

sendo //p// a fração da massa inicial que é mais facilmente decomposta, //k1// a taxa para essa fração e //k2// a taxa de decomposição para a outra fração.
   
** Modelo com  taxas sendo uma função **. Nesse caso a taxa é modelada desacelerando conforme a massa remanescente diminui. Ou seja, o k da Eq. 1, agora é uma função do tempo.

Eq. 3. $$ \frac{dm}{dt} = f(t)*m$$

Uma das funções que podem descrever essa diminuição exponencial da eq. 3 é:

Eq. 4. $$ f(t)=a +b e^{-ht} $$

===== Perguntas =====

  - Quais as equações de decomposição que descrevem a massa remanescente em função do tempo para as eq. 1, 2?
  - Qual a solução geral para a equação 3?
  - Solucione a equação 3, incluindo a função 4, para ter o modelo de decomposição com a taxa diminuindo exponencialmente. 
  - Confirme a solução anterior, primeiro integrando eq.4, e substituindo no solução geral da eq. 3