====== Derivadas ======

Nessa aula teremos apenas três exercícios que devem ser entregues no dia 14 de maio. Veja informações na página dos [[alunos:2012:start|]]  para saber como fazê-lo.

===== Exercícios 1 =====
Para as funções que diferenciamos na mão durante a aula, (1) confira o resultado no Maxima,(2) produza um gráficos lado a lado da função e sua derivada, no intervalo definido. 

  - intervalo: -1 a +1
      * $f(x)=exp(x)+x^7$
  - intervalo: -10 a +10
      * $ f(x) = x + sin(x) $   
  - intervalo: -1 a +1  
      * $ f(x) = 5x^3 + 2$    
  - intervalo: -10 a +10    
      * $ f(x) = cos(x) + sin(x)$
  - intervalo: -100 a +100
      * $ f(x) = x^2 + x^3cos(x)$    
  - intervalo: 0 a +2
      * $ f(x) = exp(x) ln(x) $    
  - intervalo: -50 a +50
      * $ f(x) = x^5sin(x)  $    
  -  intervalo: -1 a +1
      * $ f(x) = \frac{1}{x} $   
  - intervalo: -1 a +1
      * $ f(x) = \frac{1}{x^2} $    
  - intervalo: -1 a +1
      * $ f(x) = \frac{exp(x)}{x} $     
  - intervalo: 1 a +20
      * $ f(x) = \frac{sin(x)}{x^2}$     



<box 80% green |Dicas>
Veja um exemplo de código abaixo:
<code>
############
# 1. f(x)=5x^2+4 
############
par (mfrow=c(1,2))
f1=function(x){5*x^2 +4}
curve(f1,-1,+1)
## derivada
df1=function(x){10*x}
curve(df1,-1,+1)
############
</code>

</box> 

===== Exercicio 2 =====
{{:questionario:baleia.jpeg?300  |}}A baleia-bicuda-de-cuvier (Ziphius cavirostris) parece ter sua área de alimentação associada a inclinação e profundidade do assoalho marinho. Para estudar essas baleias um pesquisador hipotético ((Não é um pesquisador de hipóteses!)) definiu um transecto de 5 Km (Oeste -> Leste), a partir da costa, onde estudou o comportamento da Baleia. 

Os dados de profundidade foram medidos nas seguintes distâncias (Km) do transecto:

  dist=c(0,0.5, 1, 1.35, 1.72, 2.05,2.4, 3, 3.3, 3.77, 4, 4.5, 5 )
  prof=c(-0.1, -0.5, -0.98, -1.12, -1.4, -.95, -1.05, -1.9, -2.33, -2.88, -2.85, -2.1, -2.2)


Para definir um modelo de profundidade o pesquisador usou uma expressão polinomial de sexto grau:
  
  mod.prof<-lm(prof~dist + I(dist^2) + I(dist^3) + I(dist^4) + I(dist^5) + I(dist^6)) 
    


O gráfico abaixo representa os dados e o modelo ajustado a eles:
{{:questionario:graftrans.png?300  |}}
<code>
  dist=c(0,0.5, 1, 1.35, 1.72, 2.05,2.4, 3, 3.3, 3.77, 4, 4.5, 5 )
  prof=c(-0.1, -0.5, -0.98, -1.12, -1.4, -.95, -1.05, -1.9, -2.33, -2.88, -2.85, -2.1, -2.2)
plot(prof~dist)
mod.prof<-lm(prof~dist + I(dist^2) + I(dist^3) + I(dist^4) + I(dist^5) + I(dist^6))
mod.prof$coefficients
plot(prof~dist,main="Transecto", ylab="Profundidade", xlab="Distância da Costa", pch=19, col="red", cex.axis=1.2, cex.lab=1.2, bty="l")
xdist=seq(0,5, by=0.001)
lines(xdist, predict(mod.prof,newdata=data.frame(dist=xdist)),  type="l", lty=2)
savePlot(file="grafTrans.png", type="png")
</code>
==== Perguntas ====
  *1. Calcule a função da inclinação do terreno em relação à distância da costa.
  *2. Produza o gráfico (1) da profundidade em relação à distância da costa e (2) da sua derivada em relação à distância, coloque-as lado a lado e estabeleça a relação de ambos com as características do ambiente.
  *3. Uma hipótese é que a baleia concentre esforço de forrageio em profundidades intermediárias (entre 1Km e 1,5Km) em terrenos com inclinações negativas. Se essa hipótese estiver correta, onde vc. espera encontrar mais baleias ao longo da transecção? Qual a diferença entre uma inclinação negativa e positiva, nesse caso específico, relacionado ao ambiente?