====== Verossimilhança ======

{{:ecopop:exercicios:sup.vero.jpg?200  |}}
Para esse primeiro exercício utilizaremos exepcionalmente o programa Excel. Não se acostume com isso, o programa não merece sua confiança.
Uma ótima leitura introdutória para verossimilhança é o texto do Prof. João Baptista {{ecopop:batista2009.pdf|}} co-responsável pela disciplina de Seleção de Modelos no nosso programa junto com o Prof. Paulo Inácio.




===== Exercício I - Máxima Verossimilhança =====

Este é um exercício sobre Máxima Verossimilhança, utilizando os dados de presença e ausência. \\

**Objetivos:**\\

i) Obter estimativa de parâmetros psi e p com base em método de máxima verosimilhança;\\

ii) Representar graficamente a superfície de verosimilhança.\\

1) **Construa uma base de dados fictícia**. 
  * Esta base de dados pode ser compreendida como uma matriz [i,j], com número i de linhas e j de colunas.\\
  * Como tratam-se de dados de presença e ausência, vamos representar as ausências por zeros, e as presenças por um.\\
Exemplo:

^local ^  t1 ^     t2  ^    t3 ^    t4  ^     t5^  Soma^
^1 | 	0 | 	0 | 	0 | 	0 | 	0 | 0|
^2 |	1 |	0 |	0|	1|	1| 3|
^3 |	1|	1 |	0|	0|	0| 2 |
^4 | 	0|	1 |	0|	1|	0| 2 |
^5 | 	0|	0 |	1|	1|	1| 3 | 
^6 |	1|	0 |	0|	0|	0| 1 | 
^7 |	0|	1 | 	1|	1|	1| 4 |
^8 |	0|	0 |	0|	0|	0| 0 |
^9 |	1|	0 |	0|	0|	0| 1 | 
^10 |	0|	0 |	0|	0|	0| 0| 
^11 |	0|	0 |	0|	0|	0| 0|


2)Pensar em um modelo simples de **ocorrência com dois parâmetros**:\\ 
  * __psi__ é a probabilidade de ocorrência, relativa aos locais (LINHAS);\\
  * __ p__ é a detecção (condicionada à ocorrência), relativa ao momento da amostragem (COLUNAS);\\


Faça uma somatória para as linhas, correspondendo ao número de detecções da espécie em cada localidade (coluna soma). 
Quando a soma das observações em uma localidade é zero, ou seja a espécie não foi observada em nenhum dos tempos, o cálculo da verossimilhança é proporcional à probabilidade dela não ter sido detectada ou à probabilidade dela não ocorrer na área, definido nesse caso como:
  probabilidade de não ser detectada + probabilidade de não ocorrer
  =psi*((1-p)^5)+(1-psi)

Quando a soma das observações em uma localidade é maior que zero, ou seja a espécie foi observada em pelo menos uma das observações, o cálculo é proporcional à probabilidade de ocorrer na localidade e a probabilidade dela ser detectada o número de vezes em que foi (soma) e a probabilidade de não ser detectada o número de vezes que não foi (1-soma):

  =psi*(p^soma)*((1-p)^(5-soma))

A somatória dos logarítmos desses valores, multiplicada por -1, é o valor de Log verossimilhança (LogLike).

Agora, calcule o valor de log verossimilhança para uma das possibilidades hipotéticas de estimativa dos parâmetros, por exemplo: psi=0.5 e p=0.3

O próximo passo é fazer o calculo do Loglike para combinações de valores de p e psi possíveis.

Crie uma outra tabela na mesma planilha onde a primeira linha contem os valores possíveis de psi  e na primeira coluna os valores de p.

Faça agora para a primeira célula uma fórmula para o cálculo do LogLike para os valores que definem a primeira linha e a primeira coluna.

**DICA:** para que a fórmula seja depois estendida para as outra células, quando colocar na formula o p, utilize a indexação da posição dele com $ antes da letra da coluna ($B1), no caso do psi faça ao contrário fixe a linha (C$1). 

Estenda a fórmula para toda a tabela. Confira o valor da posição psi=0.5 e p=0.3 para ver se é igual ao calculado da primeira parte do exercício. Caso contrário um dos dois cálculos apresenta problema.

Faça uma **representação gráfica** dos valores de verossimilhança encontrados para cada combinação de __psi__ e __p__. Utilize a ferramenta de gráfico de superfície do R. 

Veja o exemplo da aula na planilha {{:ecopop:exercicios:ex1_loglike_alunos.xls|}}

Para ver uma das formas de fazer esse script no R acesse 
{{:ecopop:exercicio1.pdf|}}.

Varie o conjunto hipotético de dados (tabela com 0 e 1) pensando em valores de psi e p e veja se sua intuição quanto ao valor de psi e p dos dados hipotéticos se aproxima à estimativa LogLike. 

----