====== Predação Intraguilda - PIG ======

Veja a seguir um sistema de equações diferenciais representando a dinâmica de predação intraguilda, um caso específico de competição explícita por recursos, onde o recurso pelo qual as populações competem comporta-se como uma população logística. Trata-se de uma variação do modelo de Lotka-Volterra com competição por recurso. $\frac{dP}{dt}$ representa a dinâmica da população da predadores intraguilda, $\frac{dN}{dt}$ a população de presas intraguilda e $\frac{dB}{dt}$ representa o recurso.      

$$ \frac{dP}{dt} = \beta_{PB} \alpha_{BP} PB + \beta_{PN} \alpha_{NP} PN − m_{P} P $$

$$ \frac{dN}{dt} = \beta_{NB} \alpha_{BN} BN − m_{N} N − \alpha_{NP} PN $$

$$ \frac{dB}{dt} = rB (1 − \alpha_{BB} B) − \alpha_{BN} BN − \alpha_{BP} PB $$

Vamos então rodar um exemplo em R de como o resultado da predação intraguilda pode variar em função de diferentes cenários iniciais de predadores, presas e recursos. 

<code>

# funcao de predacao intraguilda
igp <- function(t, y, params)
{
B <- y[1]
N <- y[2]
P <- y[3]
with(as.list(params), {
dPdt <- bpb * abp * B * P + bpn * anp * N * P - mp * P
dNdt <- bnb * abn * B * N - mn * N - anp * N * P
dBdt <- r * B * (1 - abb * B) - abn * B * N - abp * B * P
return(list(c(dBdt, dNdt, dPdt)))
})
}

#parametros
params1 <- c(bpb = 0.032, abp = 10^-8, bpn = 10^-5, anp = 10^-4, mp = 1, bnb = 0.04, abn = 10^-8, mn = 1, r = 1, abb = 10^-9.5)

#tempo
t = seq(0, 60, by = 0.1)

# variando as condicoes iniciais
N.init <- cbind(B = rep(10^9, 4), N = 10^c(2, 5, 3, 4), P = 10^c(5,2, 3, 4))

layout(matrix(1:4, nr = 2))
par(mar = c(4, 4, 1, 1))
for (i in 1:4) {
igp.out <- ode(N.init[i, 1:3], t, igp, params1)
matplot(t, log10(igp.out[, 2:4] + 1), type = "l", lwd = 2, ylab = "log(Abundance)")
legend("topleft", c("recurso", "presa", "predador"), lty=c(1:3), col=c("black", "red", "green"))
}

</code>
<box 80% red| Pergunta>
O tamanho inicial das populações influencia a permanência delas no sistema? Quais são os cenários possíveis de persistências das espécies?  Justifique sua resposta com simulações.   

</box>

/*
Se um dos consumidores (seja ele presa ou predador intraguilda) começa com maior número de indivíduos ele exlui o outro. Se ambos começam com baixas abundâncias a presa intraguilda exlui o predador e se ambos começam com abundâncias moderadas o predador intraguilda vence. 
*/