====== Logístico Discreto x Exponencial Estocástico ======

Vamos fazer uma função que produza os seguintes gráficos:

  * i) Crescimento exponencial estocástico [tamanho da população no eixo Y e tempo no eixo X];\\

  * ii) Atrator do crescimento exponencial estocástico [Tamanho populacional no tempo t-1 no eixo Y e tamanho populacional no tempo t no eixo X];\\

  * iii) Crescimento logístico determinístico [tamanho da população no eixo Y e tempo no eixo X];\\

  * iv) Atrator do crescimento logístico determinístico [Tamanho populacional no tempo t-1 no eixo Y e tamanho populacional no tempo t no eixo X].\\

Usar estes valores inicialmente: No=610; r=2.99; K=600; l=1.007; varl=0.03; tmax=100\\

1) **Para criar a função:**\\

  caosvstoc <- function(argumentos) {

2) Declarar matriz de três colunas para receber resultados\\

<code>
CSTOC <- matrix(NA, nrow=tmax, ncol=3)
</code>

3)Colocar tempo na primeira coluna\\


  CSTOC[,1] <- 1:tmax


4) Colocar **tamanho inicial** na primeira linha da segunda e terceira colunas\\


  CSTOC[1,2:3] <- No'


5) Colocar **crescimento logístico discreto** na segunda coluna e **crescimento exponencial estocástico** (também discreto) na terceira. Use o ''for'' para fazer os cálculos.\\

  for (t in 2:tmax) {

6) Como o crescimento exponencial discreto agora será estocástico é preciso **criar um valor de lambda ao "aleatório"** em cada rodada do for, use:\\ 

  le <- rnorm(1,l,sqrt(varl))

7) As **fórmulas** são:\\

  - Equação 2.4 (Gotelli (2007), pp. 33) para crescimento logístico determinístico: 
  N(t) = N(t+1)+rd*N(t+1)*(1-N(t+1)/k)

Na equação 2.4, rd é a taxa de crescimento discreto; N(t-1) é o tamanho populacional no tempo t-1 (anterior); K é a capacidade de suporte; N(t) será o tamanho populacional no próximo tempo t. Salve o tamanho populacional no crescimento logístico na coluna 2 da matriz CSTOC.\\

  - Equação para crescimento exponencial discreto: 
  N(t) = N(t-1)*le. 

Onde, le = lambda estocástico.\\

Lembre-se de que se no crescimento estocástico o tamanho populacional for menor que 1, você deve substituir o valor por 0: 

  if (CSTOC[t,3]<1) {CSTOC[t,3] <- 0}

8) Salve o tamanho populacional no crescimento discreto estocástico na coluna 3 da matriz 


9) **Representação gráfica**\\

<code>
''par(mfrow=c(2,2)) # gráficos em dois por dois, preencher por linhas''\\

''#plot 1: projeção exponencial''\\

plot(??, ?? ,type="l",lty=1,xlab="tempo (t)", ylab="tamanho da população (N)",main="Exponencial estocástico")''\\

''# plot 2: busca de atractor na projeção exponencial''\\
plot(??, ?? ,type="l",col="gray",xlab="N[t]",ylab="N[t+1]")''\\
points(??, ?? ,pch=20)''\\

''# plot 3: projeção logística''\\
plot(??, ?? ,type="l",lty=1,xlab="tempo (t)", ylab="tamanho da população (N)", main="Logístico determinístico")''\\

''# plot 4: Atrator''\\
plot(??, ?? ,type="l",col="gray",xlab="N[t]",ylab="N[t+1]")''\\
points(??, ??,pch=20)''\\
</code>

# Retornar matriz com os valores''\\

  return(CSTOC)
  }
  # Fim da função''\\

10) **Teste sua função** com diferentes valores\\

  caosvstoc(No=610, r=2.99, K=600, l=1.007, varl=0.03, tmax=100)