====== Equação Diferencial Ordinária ======
Uma equação diferencial é uma equação cuja incógnita é uma função. Essa função aparece na equação sob a forma das suas derivadas. 

Veja um exemplo de uma equação diferencial simples:

$$ \frac{dy(t)}{dt}= 2 y(t) $$

Essa equação pode ser lida como "qual é a função y(t) cuja derivada é igual a duas vezes ela mesma?"

Resolver uma equação dessas pode ser bastante trabalhoso.((existem pelo menos umas 3 matérias no IME relacionadas a isso!)) Mas se uma inspiração sobrenatural te disser que "a resposta é $\exp(2x)$", nós podemos verificar que essa resposta está correta. 

Se $y(t)=\exp(2x)$, a derivada de $y(t)$ é $2\exp(2x)$ (lembre da regra da cadeia), que é, de fato, duas vezes a própria $y(t)$.

Normalmente, escrevemos a EDO com a derivada de $y(t)$ do lado esquerdo. Um caso simples de EDO é aquele em que o lado direito não envolve a função $y$, e portanto depende só de $t$:

$$ \frac{dy(t)}{dt}= f(t) $$

Podemos solucionar essa equação da seguinte forma:

  * $ dy = f(t) dt $
  * $ \int{dy} = \int{f(t) dt}  $

O que nos dá uma solução geral:

$$ y =  \int{f(t) dt} $$

Um caso mais complicado é aquele em que a derivada da função depende tanto de $y$ como de $t$. Escrevemos:

$$ \frac{dy(t)}{dt}= f(y, t) $$ 

Vamos retomar esse caso na sessão de soluções numéricas.
===== Uma EDO simples no Maxima =====
{{:exercicios:maximalogo.png?50  |}}
Vamos usar o Maxima para resolver uma função simples para nós. Lembre-se da EDO da sessão anterior, mas agora vamos trocar a constante 2 por um parâmetro $r$:

$$ \frac{dy(t)}{dt} = r y(t)$$

Nossa equação verbalmente colocado é: a taxa de variação instantânea da nossa variável de interesse é proporcional a ela própria. Ou seja: quanto maior o valor de $y$, maior a taxa de crescimento! 

Para resolver isso no Maxima, use

<code>
'diff(y(t),t)=r*y(t);
ode2(%, y(t), t);
</code>

Essa equação parece familiar? Vamos resgatá-la mais a frente no curso: é a equação do modelo de crescimento populacional exponencial, a estrutura básica de muitos outro modelos. 
Faça o gráfico dessa função para $ r=0.2 $ e estado inicial igual a 10!  

  plot2d(10*exp(0.2*t),[t,0,20]);

===== Outra função simples =====
{{:exercicios:maximalogo.png?50  |}}
Vamos pensar em outro caso, onde a taxa de variação instantânea é positiva e tende a zero quando o valor da nossa variável aproxima a um. Em outras aumenta muito quando o valor e pequeno e muito pouco quando o valor aproxima-se a um.

$$ f(x)=f(x)* (1-f(x)) $$

<code>
'diff(f(t),t)=f(t)*(1-f(t));
ode2(%,f(t),t);
</code>

Talvez não reconheça essa função, faça exponenciação de ambos os lados que ela parecerá mais simpática. Ela é a solução do exemplo anterior multiplicada por uma expressão que funciona como um freio que aperta mais forte conforme chega perto de um. Elá é a base dos modelos logísticos populacionais.

  
====== Soluções Numéricas ======

Essas primeiras equações diferencial foram fáceis de resolver no Maxima {{:exercicios:maximalogo.png?30|Maxima}}. Mas não se acostume, nem sempre é assim. Muitas equações não tem soluções algébricas((outras tem mais de uma solução)) e precisam ser resolvidas com métodos chamados de "força bruta". São geralmente computacionalmente intensos, mas com um computador pessoal podemos fazer maravilhas...
O processo básico é bem simples, muito parecido com o que fizemos para resolver as derivadas, mas existem muitas outras técnicas mais robustas.

===== Método de Euler =====

Ele é bastante simples, e consiste em fazer uma aproximação da curva usando as tangentes em diferentes pontos.
Vamos pegar a função: 

  * $\frac{dN}{dt} = rN  $ com r=2 e N(0) =20.

Como vimos: 

  * $\frac{dN}{dt} \approx \frac{N_{t + \Delta t} - N_t}{\Delta t}$

Podemos usar um intervalo de tempo arbitrário, por exemplo 0.1, o que nós dá :

  * $\frac{N_{t + 0.1} - N_t}{0.1}\approx 2N$

Ou seja, sendo que $N(0)=20$, no tempo 0.1, temos que:

  * $N_{t + 0.1} - N_t= 2N * 0.1$
  * $N_{t + 0.1} = 2N_t*0.1 + N_t$
  * $N_{t + 0.1} = 40 * 0.1 + 20 $ 
  * $N(0.1) = 24 $

No tempo 0.2, temos que:

  * $N_{0.1 + 0.1} - N_0.1 = 2N_0.1 * 0.1$
  * $N_{0.1 + 0.1} = 2 * 24 *0.1 + 24$
  * $N_{0.1 + 0.1} = 48 * 0.1 + 24 $ 
  * $N(0.2) = 28.4 $

E assim por diante ....
$\lim\limits_{x \to \infty} f(x)$
Note que quanto menor o intervalo de tempo que usamos melhor é a precisão da nossa aproximação, lembrando que $\Delta t -> 0 $   
Podemos repetir isso para os próximos intervalos de tempo no {{:exercicios:rlogo.png?30|}}. 

<code>
f <- function (N, t) 
{
        return (2*N)
}
# No tempo inicial, N vale 20:
N0 <- 20 
# O passo de tempo eh dt. Vamos rodar ateh tmax
dt <- 0.1 
tmax <- 2

euler <- function (f, N0, dt, tmax) 
{
        # res vai retornar o vetor com todos os Ns
        res <- NULL
        N <- N0
        for (tempo in seq(0, tmax, dt)) 
        {
                N <- N + f(N,tempo)*dt
                res <- rbind(res, N)
        }   
        return (res)
}    

# Examine a solucao numerica:
numerica <- euler(f, N0, dt, tmax)

x<- seq(0, tmax, dt) 
# A solucao correta da EDO:
plot(x, 20*exp(2*x), typ='l', col='green')
# Vamos comparar com a solucao numerica
points(x, numerica, col='red', pch=4, ce=0.2)
</code>

A aproximação foi boa? Tente repetir o mesmo código com dt = 0.01 e 0.001 e compare.
====== Integração Numérica no R ======
Não precisamos fazer todo o procedimento anterior para fazer a integração numérica no {{:exercicios:rlogo.jpg?20  |}}, existem soluções implementadas previamente que são muito mais eficientes e robusta que a nossa.
Vamos integrar numericamente algumas equações usando o pacote //deSolve// e a função //ode//.
Antes de tudo precisa instalar e carregar o pacote. Para instalar você pode usar o menu do RGui ou pela linha de comando, digite:

  install.packages("deSolve")

Carregando o pacote e olhando o help da função //ode//:

  library(deSolve)
  ?ode

Muito bem! Agora que já temos o pacote carregado, vamos integrar numericamente algumas funções, ou seja, calcular o valor para cada tempo infinitesimal dentro de um amplitude de valores.

===== Uma função simples =====

Vamos primeiro usar uma função simples:

$$ \frac{dy}{dt} = y-\frac{y^2}{K} $$

  *1. Primeiro criamos a função, com os seguintes parâmetros na função R:
     * o tempo, que depois definiremos com uma sequência numérica
     * a situação inicial da variável independente
     * os parâmetros da equação diferencial
<code>
  fy1 <- function(time,y,parms)
  {
   n=y[1]
   K=parms[1]
   dy.dt=n-(n^2/K)
   return(list(c(dy.dt))) 
  } 
</code>
  * 2. Agora precisamos criar os parâmetros:
<code>
  prmt = 10
  y0 = 1
  st=seq(0.1,20,by=0.1)
</code>
  *3. Vamos resolver a nossa equação diferencial e graficá-la:
<code>
  res.fy1= ode(y=y0,times=st, fy1,parms=prmt)
  plot(res.fy1[,1], res.fy1[,2], type="l", col="red",lwd=2, xlab="tempo", ylab="y")
</code>  

Será que a função //ode// fez mágica? Ela apenas usa um método parecido com o de Euler, que vimos acima, para achar a solução numérica de uma ode.
===== Uma outra função simples =====
Agora nossa equação é:

$$\frac{dy}{dt}= y(ay^2 + by + r) $$


Veja o código abaixo:

<code>
fy2 <- function(time,y,parms)
  {
   n=y[1]
   a=parms[1]
   b=parms[2]
   r=parms[3]
   dy.dt=n*(a*n^2 + b*n + r)
   return(list(c(dy.dt))) 
  } 
prmt = c(a=-1,b=4, r=-1)
y0 = 1
st=seq(0.1,20,by=0.1)
res.fy2= ode(y=y0,times=st, fy2,parms=prmt)
plot(res.fy2[,1], res.fy2[,2], type="l", col="red",lwd=2, xlab="tempo", ylab="y")

</code>
==== Agora é com vc. ====

  * modifique a condição inicial e veja o que acontece: 0,5; 0,3; 0,01

===== Agora é realmente com vc. =====

Faça a integração numérica para as seguintes funções:

  *1. $ \frac{dy}{dt} = y-y^2*f(t)$
    * sendo: $f(t)= 0.01 + 0.01 sin(2\pi Mt)$;
    * M=15
  *2. $\frac{dn}{dt} = r(t)*n $ 
    * sendo: $r(t)= 0.1 - 100 sin(2 \pi t)$