====== II) INTEGRAL ====== A integral indefinida ou antiderivada de uma função é uma operação que resulta na função cuja derivada é a função integrada. Simbolicamente, pode-se representar a integral indefinida de seguinte forma: $$ \int g(x)dx$$ Se $ g(x) = f'(x)$, então * $$ \int f'(x)dx = f(x)$$ Já se definirmos um intervalo de $x$ (por exemplo $x∈[a,b]$) para o qual queremos calcular a integral, obtemos uma integral definida. Esta operação que será igual à somatória da integral em cada ponto do intervalo, o que corresponde à área sob uma determinada curva. Simbolicamente a integral definida é representada como: * $$ \int _a^b f'(x)dx = \int ^b f'(x)dx - \int ^a f'(x)dx = f(b) - f(a)$$ Isso é o que temos (além de umas poucas regras básicas dadas em aula) para calcular as integrais do exercício 1, cujas soluções encontram-se abaixo. \\ ---- \\ ===== Exercício 1 ===== ===a) $ \int \sin(x) dx$=== $ f(x) = \int f'(x)dx $\\ ==Resp: $ \int \sin(x) dx=-\cos(x) + K$== === === ---- ===b) $ \int x^2 +1 dx$=== $ f(x) = \int f'(x)dx $\\ $ f'(x) = g(x)+h(x)$ então,\\ \\ $ \int g(x) + h(x)dx = \int g(x)dx +\int h(x)dx = \int x^2dx +\int 1dx = \int x^2dx + x$\\ ==Resp: $\int x^2 +1dx = \frac{x^3}{3} + x+K $== === === ---- ===c) $ \int _0^1 \cos (x) dx$=== $ \int _0^1 f'(x)dx = \int ^1 f'(x)dx - \int ^0 f'(x)dx = \int ^1 \cos(x)dx - \int ^0 \cos(x)dx$\\ \\ $ \sin(1)-\sin(0)$ ==Resp: $\int _0^1 \cos (x) dx = \sin(1) $== === === ---- ===d) $ \int _{-1}^5 x^3 +2x dx$=== $\int x^3 +2x dx = \int x^3dx + \int 2xdx = \frac{x^4}{4} + x^2$\\ $\int ^5 x^3 +2x dx - \int ^{-1} x^3 +2x dx = (\frac{5^4}{4} + 5^2) - (\frac{-1^4}{4} + (-1)^2)$\\ ==Resp: $ \int _{-1}^5 x^3 +2x dx = 180 $== === === ---- ===e) $ \int _1 ^ \infty \frac{1}{x^2}dx$=== $ \int \frac{1}{x^2}dx = \int x^{-2}dx = \frac {x^{-1}} {-1} = - \frac {1}{x}$\\ $ \int _1 ^ \infty \frac{1}{x^2}dx = \int ^ \infty \frac{1}{x^2}dx - \int ^ 1 \frac{1}{x^2}dx = - \frac{1}{\infty} + 1$\\ \\ Considerando que $ \frac{1}{\infty} ≅ 0$ ==Resp: $ \int _1 ^ \infty \frac{1}{x^2}dx ≅ 1 $== === === ---- ===f) $ \int _0 ^ 1 \sin ( x^{27} ) dy $ (cuidado, pegadinha!)=== Como estamos integrando em $y$,\\ \\ $ \int \sin ( x^{27} ) dy = \sin ( x^{27} ) \int dy = \sin ( x^{27} )y$\\ $ \int _0 ^ 1 \sin ( x^{27} ) dy = \sin ( x^{27} ) \int ^1 dy - \sin ( x^{27} ) \int ^0 dy = \sin ( x^{27} ) - 0$\\ ==Resp: $ \int _0 ^ 1 \sin ( x^{27} ) dy = \sin ( x^{27} ) $== === === ---- ==== ==== \\ \\ As soluções para essas integrais podem ser visualizadas no aplicativo Maxima pelo arquivo abaixo:\\ *{{:alunos:2012:mawade:integral_ex1.wxm|Integrais - Maxima}} \\ =====Exercício 2 ===== Este exercício foi bastante elucidativo!!! Valeu Pizza, Chalom e Sara!!!..:-D\\ \\ Antes de mostrar a resposta, gostaria de expor uma "viagem" que tive ao começar a solucionar esse problema. Logo de cara, ao olhar para a função apresentada percebi que ela era muito similar à normal. Então, comecei a substituir os valores dos parâmetros de $ Q(x)$ de tal modo que eu pudesse obter os valores dos parâmetros da distribuição normal correspondente. Veja como fiz: $$ Q(x;N,W_s,\bar u,\sigma_z) = \frac{NW_s}{\sqrt{2\pi}\bar u \sigma_z} e^\frac{-(H-W_sx/\bar u)^2 } {2 \sigma_z^2} $$ Dado que a distribuição normal é igual a $$ N(x;\sigma_n, \mu) = \frac{1}{\sigma_n\sqrt{2\pi}}e^\frac{-(x-\mu)^2}{2 \sigma_n^2}$$\\ :!: :!: :!: ---- \\ Vamos ao exercício! A integral de $Q(x)$ é igual a $$\int Q(x)dx=\frac{N}{2}erf \left(\frac{xW}{\sqrt{2}\sigma_z\bar u}-\frac{H}{\sqrt{2}\sigma_z}\right)$$ \\ * ** 1)** $\int _{-1}^1 Q(x)dx = 50erf(\sqrt{2}) = 47.725 ≅ 48$ sementes\\ \\ * ** 2)** $ \int _{-\infty}^\infty Q(x)dx = 100$ sementes. \\ ==== ==== Esse resultado é de certa forma esperado, uma vez que a taxa de produção de sementes na fonte é 100. Como não há tempo nessa equação, só existem 100 sementes no sistema, não havendo nascimentos (produção de sementes) ou mortes. No entanto, fui curioso e tentei verificar se a mesma quantidade de semente que se estabelece à direita da planta, se estabelece à esquerda. Ao contrário do que eu esperava, isso não ocorre. Mas não sei porque... Veja o que eu encontrei:\\ $ \int _{-\infty}^0 Q(x)dx = \frac{N}{2} \left(1-erf\left(\frac{H}{\sqrt{2}\sigma_z}\right)\right)$ \\ $ \int _0^{\infty} Q(x)dx = \frac{N}{2} \left(1+erf\left(\frac{H}{\sqrt{2}\sigma_z}\right)\right)$ Se tomarmos os valores do exemplo acima, teremos a seguinte resposta: $\int _{-\infty}^0 Q(x)dx = 50\left(1-erf\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)=0.3173$ \\ $ \int _0^{\infty} Q(x)dx =50\left(1+erf\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right))=1.6827$\\ ===== ===== * ** 3)** $ \int _0^d Q(x)dx = \frac{N}{2}\left[erf \left(\frac{\sqrt{2}dW_s-\sqrt{2}\bar uH}{2\sigma_z\bar u}\right)-erf\left(\frac{H}{\sqrt{2}\sigma_z}\right)\right]$ \\ \\ ---- \\ \\ ===== Exercício 3 ===== * **1)** $\int _{-1}^1 Q(x,0)dx = 50erf(\sqrt{2})$. Esse é exatamente o resultado esperado. \\ * **2)** $\int _0^2\pi Q(1,t)dt ≅ 250.6628 ≅ 251$ **sementes**. ==== ==== Neste caso é correto dizer que densidade é igual a número de indivíduos, certo? É a densidade pontual, um conceito bastante abstrato! ===== ===== * **3)** $\int _{-1}^1 Q(x,t)dx = h(t) = 50(sin(t)+1)erf(\sqrt{2})$ \\ * **4)** $\int _0^2\pi \int _{-1}^1 Q(x,t)dxdt = \int_0^2\pi h(t)dt =100\pi erf(\sqrt{2})≅299.8649≅300$ **sementes**. \\ ---- \\ As soluções das integrais dos exercícios 2 e 3 no Maxima estão no arquivo abaixo. \\ \\ {{:alunos:2012:mawade:exercicio2.wxm|Integrais}}. ===== Desafio ===== :!: :!: :!:\\ \\ //Não tive tempo para resolvê-lo, mas certamente olharei com carinho e tentarei resolver assim que der. Estou bem empolgado//!!! \\ \\ ----