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-====== Integração Numérica do Crescimento Logístico  ======
+====== Variações do Modelo Logístico ======
-{{:exercicios:poptrem.jpg?200  |  }}A regessão logística é uma equação diferencial ordinária. Podemos resolver essa equação para um dado intervalo de tempo utilizando integração numérica. A técnica consiste basicamente em transformar os passos infinitamente pequenos do cálculo (dx) em passos muito pequenos, porém finitos. O pacote deSolve do R contém a função ode que faz o serviço por nós! Abaixo descrevemos um função básica para integração numérica da função logística. Precisamos primeiro definir a função básica, no caso uma logística contínua.
-Vamos usar a função do livro do Gotelli (equação 2.1, pag. 28 )
+==== Crescimento Discreto Análogo ao Modelo Logístico ====
+Abaixo apresentamos o código do crescimento discreto análogo ao crescimento logístico((não é uma solução em  tempo discreto)), como apresentado no livro do Gotelli(2007, eq. 2.4),  e simulamos uma população:
 <code>
-# função de crescimento logístico
+############################
-clogistico<-function(tempo, y, parms)
+### Crescimento Discreto ###
+############################
+discrLog=function(N0=1, rd=0.05, K=100, tmax=100)
 {
-n<-y[1]
+resulta=rep(N0,tmax)
-r<-parms[1]
+	for(t in 2:tmax)
-K<-parms[2]
+	{
-dN.dt<-r* n* (1- n/K)
+	lastN=resulta[t-1]
-return(list(c(dN.dt)))
+	resulta[t]=lastN+rd*lastN*(1-lastN/K)
+	}
+return(resulta)
 }
-</code>
-Vamos agora especificar os parâmetros dessa função
-  parametros=c(r=1,K=100)
+pop2<-discrLog(N0=1, rd=0.05, K=100, tmax=100)
-  N0= 1
+plot(1:100,pop2, pch=16, col="red",xlab="tempo (gerações)", ylab="Tamanho da população (N)", bty="l", cex.lab=1.2, cex.axis=1.2)
-  st=seq(0.1,10, by=0.1)
+lines(1:100, pop2, lty=2, cex=0.8)
-Agorar utilizando o pacotes **deSolve** para a integração numérica dessa função
-<code>
-library(deSolve)
-res<-ode(y=N0, times=st, clogistico, parms=parametros)
-str(res)
 </code>
-Agora só falta fazer o gráfico:
+<box 70% red | Exercício Caos Total>
+Assim como simulamos várias populações com tamanhos iniciais distintos, faça o mesmo simulando populações com crescimento discreto variando o //rd// variando de 1 a 3, com capacidade de suporte fixa (K=100) e N0=10.
+  * Essas populações são estáveis?
+  * Acontece o mesmo ao simular populações com crescimento contínuo?
+  * O que acontece se mudarmos o K=50 ou a tamanho inicial da população, a trajetória da população se altera?
+  * Há alguma estocasticidade associada a esse modelo? Como comprovar?
+</box>
+====  Um atrator no crescimento logístico discreto ====
+{{:exercicios:caos.jpg?200  |}}
+Vamos mostrar como a ordem subjacente a um comportamento caótico pode ser facilmente reconhecida através de uma representação gráfica.  Utilize o crescimento logístico discreto da projeção produzida acima, e represente N(t+1) contra N(t) em um gráfico. Tente primeiro com rd=0.05 e depois com rd=2.8.
-<code>
+<box red 70%|Exercício: Atrator >
-plot(res[,1], res[,2], main="Crescimento Logístico", type="l", xlab="Tempo", ylab="N", col="red" )
+Um pseudocódigo explicita os passos para elaborar uma tarefa, abaixo nossa dica para realizar o exercício:
-legend("topleft", "N0=1;r = 1; K = 100", bty="n")
+  - Rodar a função criada no tópico anterior e  guardar o resultado no objeto //caos//
-</code>
+  - Dividir o dispositivo gráfico em duas colunas
+  - Criar o gráfico da projeção da população
+  - Produza a sequencia do objeto cao1 do segundo valor até o último ((dica: vc. pode usar a indexação "[-1]" ))
+  - Produza a sequencia de valores do objeto caos de 2:último ((aqui vc. pode também indexar "[-X]", sendo X o valor da última posição do objeto))
+  - Criar o gráfico Nt x Nt-1 com as sequencias produzidas anteriormente
+  - Ligar os pontos do segundo gráfico
+</box>
+==== Bifurcação do Atrator ====
-===== Exercícios =====
+Até agora analisamos o tamanho populacional em função do tempo. Vamos analisar o tamanho populacional agora em função da taxa de crescimento discreta (rd) no modelo logístico. Queremos aqui ver qual o tamanho que a população converge se variarmos apenas a taxa de crescimento.
-  * 1. Faça o gráfico de duas populações (//a// e //b//) com crescimento logístico, ambas com mesma taxa de crescimento(r=0,10) e mesma capacidade suporte (K= 100), porém com tamanhos iniciais diferentes (N0_a=5, N0_b=200).
+Primeiro precisamos simular o crescimento populacional discreto para um conjunto de rd's e depois acertar os dados para compor um gráfico que nos mostre os valores de convergência da trajetória de cada população para diferentes rd's. Utilize o código abaixo.
+<code>
+N0=10
+K=100
+tmax=200
+nrd=10
+rd.s=seq(1,3,length=nrd)
+rd.s
+r1=sapply(rd.s, function(x){discrLog(N0=N0, rd=x, K=K,tmax=tmax)})
+str(r1) ## veja a estrutura do arquivo;
+r2=stack(as.data.frame(r1))
+str(r2) ## veja como mudou!cada indice é relacionado à coluna antiga
+names(r2)=c("N", "old.col")
+r2$rd=rep(rd.s,each=tmax)
+r2$tempo=rep(1:tmax, nrd)
+res.bif=subset(r2, tempo>0.5*tmax) ## pegando apenas o tempos maiores onde a população já deve ter convergido
+plot(N~rd, data=res.bif, pch=".", cex=2)
-====== Estocasticidade Ambiental ======
-Vamos partir da equação logística acima e sua solução integração numérica para criar uma situação com estocasticidade ambiental. Nessa função teremos três parâmetros:
-  * rmedio: uma taxa média do crescimento populacional
-  * varr: uma variância do rmedio
-  * K: capacidade de suporte
-<code>
-clogEst <- function(times,y, parms)
-  {
-   n<-y[1]
-   r<-rnorm(1,mean=parms[1],sd=sqrt(parms[2]))
-   K<-parms[3]
-   dN.dt<-r* n* (1- n/K)
-   return(list(c(dN.dt)))
-  }
-y0 = c(1)
-prmt=c(rmedio=0.1, varr=0.1, K=10)
-st=seq(0.1,200,by=0.01)
-res.clogEst= ode(y=y0,times=st, func=clogEst,parms=prmt)
-plot(res.clogEst[,1], res.clogEst[,2], type="l", col="red",lwd=2, xlab="tempo", ylab="y")
 </code>
-====== Crescimento Logístico com Retardo ======
-{{:exercicios:lorenz3d.gif?200  |  }}
-O crescimento logístico com retardo pode ter trajetórias muito complexas, como vimos nos modelos logísticos com crescimento discreto.
-Vamos simular algumas trajetórias para esses modelos contínuos com retardo. A solução numérica de uma equação diferencial não é trivial! Para tanto vamos usar o pacote **PBSddsolve** do R.
-<code>
-require(PBSddesolve)
-clogDelay <- function(t,N,parms)
-{
-	if (t < parms[3])
-		lag <- parms[4]
-	else
-		lag <- pastvalue(t - parms[3])
-	n<-lag
-	r<-parms[1]
-	K<-parms[2]
-	dN.dt<-r* n* (1- n/K)
-	return(list(c(dN.dt)))
-}
-#defina os valores da iniciais da população e os parâmetros
+<box 70% red| Perguntas >
-  N0= 10
+  * O resultado parece estranho?
-  parametros=c(r=3.7,K=100, retardo=0.5, initial=N0)
+  * Rode novamente aumentando o //**nrd**// para 200
+  * Descreva brevemente os padrões identificados nesse gráfico.
-# solucione a derivação numérica com retardo
+</box>
-pop <- dde(y=N0,times=seq(0,100,0.1),func=clogDelay ,parms=parametros)
-# veja a estrutura do objeto que guardou os resultados
-str(pop)
-# faça um gráfico
-plot(pop$t, pop$y1, type="l", col="red", xlab="tempo", ylab="Numero de indivíduos", main="Crescimento Logistico com retardo")
-</code>