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--- exercicios:exe3 [2012/05/16 17:29] – [Crescimento Logístico com Retardo] mortara
+++ exercicios:exe3 [2024/01/09 18:18] (atual) – edição externa 127.0.0.1
@@ Linha 74: / Linha 74: @@
 $$ N_t= \frac{K}{1+(\frac{(K-N_0)}{N_0})e^(-rt)}$$
-<box red 80%|Exercício 1: Resolução Algébrica >
+<box green 80%|Desafio: Resolução Algébrica >
-Como você é desconfiado,, assim como todo bom cientista, resolveu colocar em prova a resolução apresentada pelo Gotelli. Use o Maxima para resolver a equação diferencial do Crescimento Logístico e prove que a equação encontrada é equivalente à solução do Gotelli.
+Como somos desconfiados, assim como todo cientista, resolvemos colocar em prova a resolução apresentada pelo Gotelli. Use o Maxima (ou o site do [[http://www.wolframalpha.com/]]) ((a expressão que deve ser colocada no site é: n'(t)=n(t)*r*(1- n(t)/K) ))para resolver a equação diferencial do Crescimento Logístico, dicas:
-Dicas:
+  * lembre-se que a constante de integração (%c) é indeterminada e para chegar a uma expressão que faça sentido deve, em algum momento na simplificação da resolução, resolver a equação para o estado inicial $t= 0$, assim substitui o %c por uma expressão que contém N0: a situação inicial de nossa população.
-  * lembre-se que a constante de integração (%c) é equivalente ao estado inicial (N0)
+  * caso não consiga simplificar a expressão para chegar à mesma representação, não desespere... é difícil mesmo! Vc. pode alternativamente, testar se a expressão resultante, isolada para N(t), produz o mesmo resultado que a solução do Gotelli, simulando populações com as duas expressões e comparando os resultados em gráficos.
-  * caso não consiga simplificar a expressão para chegar a mesma representação, demonstre com a simulação da trajetória de populações com mesmas características
-  * Faça o exercício apenas depois do Roteiro! Ele vai ajudá-lo nas simulações de populações
 </box>
@@ Linha 138: / Linha 136: @@
 tmax=100
 resK.mat=matrix(NA, ncol=length(K.seq),nrow=tmax+1)
-for(i in 1:length(N0.seq))
+for(i in 1:length(K.seq))
 {
 resK.mat[,i]<-cresc.log(N0=1,r=0.1,K=K.seq[i],tseq=0:tmax)
@@ Linha 147: / Linha 145: @@
 </code>
 </box>
 ===== Integração Numérica do Crescimento Logístico  =====
 {{:exercicios:poptrem.jpg?200  |  }}A regessão logística é uma equação diferencial ordinária. Podemos resolver essa equação para um dado intervalo de tempo utilizando integração numérica. A técnica consiste basicamente em transformar os passos infinitamente pequenos do cálculo (dx) em passos muito pequenos, porém finitos. O pacote deSolve do R contém a função ode que faz o serviço por nós! Abaixo descrevemos um função básica para integração numérica da função logística. Precisamos primeiro definir a função básica, no caso uma logística contínua.
@@ Linha 184: / Linha 181: @@
-<box red 70% |Exercício 2>
+<box red 70% |Exercício 1>
-===== Exercícios =====
-  * 1. Repita algumas das simulações anteriores e
+  * 1. Repita algumas das simulações anteriores e verifique se a solução numérica é  realmente uma aproximação da analítica mostrando a trajetória de algumas populações simuladas.
-  * 2. Verifique se a solução numérica é igual a analítica
 </box>
 ====== Estocasticidade Ambiental ======
-Vamos partir da equação logística acima e sua solução integração numérica para criar uma situação com estocasticidade ambiental. Nessa função teremos três parâmetros:
+Vamos partir da equação logística acima e sua solução integração numérica para criar uma situação com estocasticidade ambiental. No caso do modelo exponencial a estocasticidade estava representada por uma variação no //r//, na logística vamos modelar a uma variação aleatória na capacidade de suporte.
-  * rmedio: uma taxa média do crescimento populacional
+Nessa função teremos três parâmetros:
-  * varr: uma variância do rmedio
+  * r: taxa de crescimento populacional
   * K: capacidade de suporte
+  * varK: uma variância do K
 <code>
@@ Linha 201: / Linha 198: @@
   {
    n<-y[1]
-   r<-rnorm(1,mean=parms[1],sd=sqrt(parms[2]))
+   r<-parms[1]
-   K<-parms[3]
+   K<-rnorm(1,mean=parms[2],sd=sqrt(parms[3]))
    dN.dt<-r* n* (1- n/K)
    return(list(c(dN.dt)))
   }
-y0 = c(1)
+y0 = c(10)
-prmt=c(rmedio=0.1, varr=0.1, K=10)
+prmt=c(r=0.15, K=30, varK=20)
-st=seq(0.1,200,by=0.01)
+st=seq(0,100,by=0.01)
 res.clogEst= ode(y=y0,times=st, func=clogEst,parms=prmt)
 plot(res.clogEst[,1], res.clogEst[,2], type="l", col="red",lwd=2, xlab="tempo", ylab="y")
 </code>
-<box red 70%| Exercício>
+<box red 70%| Exercício 2>
   * Use as simulações com estocasticidade ambiental para reponder:
-  * Qual parâmetros aumentam a amplitude da oscilação e qual o paralelo com a biologia?
+  * Qual parâmetros aumentam a amplitude da oscilação e qual a interpretação biológica?
   * É possível ocorrer extinção da população com taxas de crescimento positivo? Demonstre com simulações.
 </box>
 ====== Crescimento Logístico com Retardo ======
@@ Linha 226: / Linha 223: @@
 Vamos simular algumas trajetórias para esses modelos contínuos com retardo. A solução numérica de uma equação diferencial não é trivial! Para tanto vamos usar o pacote **PBSddsolve** do R.
 <code>
+#se ainda nao tem o pacote, instalar com o comando:
+install.packages("PBSddesolve")
 require(PBSddesolve)
 clogDelay <- function(t,N,parms)
@@ Linha 258: / Linha 257: @@
   * maior de 1,5
-<box 50% red | Exercício 4>
+<box 50% red | Exercício 3>
 Apresente as simulações anteriores em gráficos e discorra sobre o que está acontecendo nesses intervalos de valores e o significado de //r* retardo//