Diferenças

Aqui você vê as diferenças entre duas revisões dessa página.

--- exercicios:calc_int [2012/05/05 17:49] – [Código] adalardo
+++ exercicios:calc_int [2024/01/09 18:18] (atual) – edição externa 127.0.0.1
@@ Linha 12: / Linha 12: @@
 ^ Ache as derivadas e em seguida as antiderivadas ^^^^^^
-  - $$ f(x) = exp(x) + x^7$$
+  - $ f(x) = exp(x) + x^7$
-  - $$ f(x) = x + sin(x) $$
+  - $ f(x) = x + sin(x) $
-  - $$ f(x) = 5x^3 + 2$$
+  - $ f(x) = 5x^3 + 2$
-  - $$ f(x) = cos(x) + sin(x) $$
+  - $ f(x) = cos(x) + sin(x) $
-  - $$ f(x) = x^2 + x^3cos(x)$$
+  - $ f(x) = x^2 + x^3cos(x)$
-  - $$ f(x) = exp(x) ln(x) $$
+  - $ f(x) = exp(x) ln(x) $
-  - $$ f(x) = x^5sin(x)$$
+  - $ f(x) = x^5sin(x)$
-  - $$ f(x) = 1/x $$
+  - $ f(x) = \frac{1}{x} $
-  - $$ f(x) = 1/x^2 $$
+  - $ f(x) = \frac{1}{x^2} $
-  - $$ f(x) = exp(x)/x $$
+  - $ f(x) = \frac{exp(x)}{x} $
-  - $$ f(x) = sin(x)/x^2$$
+  - $ f(x) = \frac{sin(x)}{x^2}$
@@ Linha 38: / Linha 38: @@
-===== Integral definidas =====
+===== Integrais definidas =====
 {{:exercicios:area_x2.jpeg?250  |}}
 Podemos pensar a integral definida como a área resultante sob a curva da função em um dado intervalo.
-Vamos visualizar isso graficamente com a nossa já conhecida função quadratica $f(x)=x^2$ a área no intervalo de 0 até 1.
+Vamos visualizar isso graficamente com a nossa já conhecida função quadratica $f(x)=x^2$ a área no intervalo de 0 até 1. Que em notação matemática é representado como:
 $\int_0^1 f(x)~dx$
+==== Área Aproximada ====
-FIXME
+Vamos tentar resolver o problema de forma bastante intuitíva e com as ferramentas que temos ((Cuidado com o [[http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_the_instrument|Martelo de Maslow]]: "... se o único instrumento que tem é um martelo, todos o problemas parecem pregos!")). Não sabemos calcular a área sob curvas, apenas áreas de figuras geométricas regulares. Vamos então, transformar a curva em retângulos contíguos e calcular a somatória da área desses retângulos!
+Primeiro vamos desenhar o gráfico acima do nosso problema.
-==== Código ====
 <code>
-########################
-### Script Integral ####
-########################
 ##############################
 ## área sob a curva f(x)= x^2;
@@ Linha 73: / Linha 68: @@
 title(sub=paste("Área= ??"))
 #savePlot("area_x2.jpeg", type="jpeg")
+</code>
+=== Cálculo da Área ===
+<code>
 #############################
 #### Aproximação da Área ###
@@ Linha 89: / Linha 89: @@
 (ar1= sum(h1*0.1))
 title(sub=paste("Área=",ar1))
+</code>
+=== Outra Solução ===
+<code>
 ################################
 ## Altura da área a esquerda
@@ Linha 104: / Linha 108: @@
 (ar2= sum(h2*0.1))
 title(sub=paste("Área=",ar2))
+</code>
+=== Altura Média ===
+<code>
 ################################
-## Altura da área no media
+## Altura da área na media
 ###############################
 plot(seq.x,seq.y, type="l", bty="l", cex.lab=1.5, cex.axis=1.2, main= "Altura Média", xlab="x", ylab="y")
@@ Linha 120: / Linha 127: @@
 title(sub=paste("Área=",ar3))
 ################################
+</code>
+==== Diminuindo os intervalos ====
+Agora vamos diminuir os intervalos do eixo x, a partir da árean estimada para a altura média do retângulo no intervalo. Esse processo é o mesmo que dizer que o intervalo tende a zero $\Delta x \to 0$, em outras palavras estamos buscando a somatória de limites. Podemos formular dessa forma:
+$$\int_a^b f(x)~dx = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \sum\limits_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x_i$$
+=== $d_x=0.1$ ===
+<code>
 ##################################################
 ## DIMINUNIDO O INTERVALO (BASE) DOS RETÂNGULOS ##
@@ Linha 132: / Linha 148: @@
 lines(seq.x,seq.y)
 title(sub=paste("Área=",ar3))
+</code>
+=== $d_x=0.05$ ===
+<code>
 ##############
 ### dx=0.05 ##
@@ Linha 150: / Linha 171: @@
 (ar4= sum(h4*dx))
 title(sub=paste("Área=",ar4))
-##############
+</code>
-### dx=0.01 ##
-##############
+=== $d_x=0.01$ ===
-dx=0.01
-seq.01= seq(0,1, by=dx)
+<code>
-seq.01y=seq.01^2
-plot(seq.x,seq.y, type="l", bty="l", cex.lab=1.5, cex.axis=1.2, main= paste("dx=", dx), xlab="x", ylab="y")
-abline(v=0, lty=2)
-abline(h=0, lty=2)
-abline(v=1, lty=2)
-barplot(height=diff(seq.01y)/2+seq.01y[-length(seq.01y)],width=dx, space=0, col="red", add=TRUE, yaxt="n")
-lines(seq.x,seq.y)
-#################################
-## calculo da área dos retângulos
-################################
-h5=diff(seq.01y)/2+seq.01y[-length(seq.01y)]
-(ar5= sum(h5*dx))
-title(sub=paste("Área=",ar5))##############
-### dx=0.01 ##
-##############
-dx=0.01
-seq.01= seq(0,1, by=dx)
-seq.01y=seq.01^2
-plot(seq.x,seq.y, type="l", bty="l", cex.lab=1.5, cex.axis=1.2, main= paste("dx=", dx), xlab="x", ylab="y")
-abline(v=0, lty=2)
-abline(h=0, lty=2)
-abline(v=1, lty=2)
-barplot(height=diff(seq.01y)/2+seq.01y[-length(seq.01y)],width=dx, space=0, col="red", add=TRUE, yaxt="n")
-lines(seq.x,seq.y)
-#################################
-## calculo da área dos retângulos
-################################
-h5=diff(seq.01y)/2+seq.01y[-length(seq.01y)]
-(ar5= sum(h5*dx))
-title(sub=paste("Área=",ar5))
 ##############
 ### dx=0.01 ##
@@ Linha 203: / Linha 194: @@
 (ar5= sum(h5*dx))
 title(sub=paste("Área=",ar5))
+</code>
+=== $d_x=0.001$ ===
+<code>
 ##############
 ### dx=0.001 ##
@@ Linha 221: / Linha 218: @@
 (ar6= sum(h6*dx))
 title(sub=paste("Área=",ar6))
 </code>
-===== Densidade =====
+===== Maxima =====
+{{:exercicios:maximalogo.png?200  |}}
+Vamos integrar algumas equações no Maxima. Abra o arquivo {{:exercicios:integral.wxm|}} e aplique a integral nas funções apresentadas no roteiro.
+===== Exercicios =====
+Siga agora para a página de [[questionario:int|exercícios]] de integrais.