Diferenças

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--- exercicios:calc1 [2012/05/11 02:53] – [Equação Diferencial Ordinária] shalom
+++ exercicios:calc1 [2024/01/09 18:18] (atual) – edição externa 127.0.0.1
@@ Linha 49: / Linha 49: @@
   plot2d(10*exp(0.2*t),[t,0,20]);
+===== Outra função simples =====
+{{:exercicios:maximalogo.png?50  |}}
+Vamos pensar em outro caso, onde a taxa de variação instantânea é positiva e tende a zero quando o valor da nossa variável aproxima a um. Em outras aumenta muito quando o valor e pequeno e muito pouco quando o valor aproxima-se a um.
+$$ f(x)=f(x)* (1-f(x)) $$
+<code>
+'diff(f(t),t)=f(t)*(1-f(t));
+ode2(%,f(t),t);
+</code>
+Talvez não reconheça essa função, faça exponenciação de ambos os lados que ela parecerá mais simpática. Ela é a solução do exemplo anterior multiplicada por uma expressão que funciona como um freio que aperta mais forte conforme chega perto de um. Elá é a base dos modelos logísticos populacionais.
 ====== Soluções Numéricas ======
-Essa duas funções diferenciais foram fáceis de resolver no Maxima {{:exercicios:maximalogo.png?30|Maxima}}. Mas não se acostume, nem sempre é assim. Muitas equações não tem soluções algébricas(( outras tem mais de uma solução)) e precisam ser resolvidas com métodos chamados de "força bruta". São geralmente computacionalmente intensos, mas com um computador pessoal podemos fazer maravilhas...
+Essas primeiras equações diferencial foram fáceis de resolver no Maxima {{:exercicios:maximalogo.png?30|Maxima}}. Mas não se acostume, nem sempre é assim. Muitas equações não tem soluções algébricas((outras tem mais de uma solução)) e precisam ser resolvidas com métodos chamados de "força bruta". São geralmente computacionalmente intensos, mas com um computador pessoal podemos fazer maravilhas...
-O processo básico é bem simples, muito parecido com o que fizemos para resolver as derivadas, mas tem muitas técnicas envolvidas.
+O processo básico é bem simples, muito parecido com o que fizemos para resolver as derivadas, mas existem muitas outras técnicas mais robustas.
 ===== Método de Euler =====
@@ Linha 68: / Linha 82: @@
 Podemos usar um intervalo de tempo arbitrário, por exemplo 0.1, o que nós dá :
-  * $\frac{N_{t + 0.1} - N_t}{0.1}= 2N$
+  * $\frac{N_{t + 0.1} - N_t}{0.1}\approx 2N$
-Ou seja, sendo que N(0) =20 no tempo = 0.01, temos que:
+Ou seja, sendo que $N(0)=20$, no tempo 0.1, temos que:
-  * $N_{t + 0.1} = 20 * 0.1 + 20 $
+  * $N_{t + 0.1} - N_t= 2N * 0.1$
-  * $ N(0.1) = 22 $
+  * $N_{t + 0.1} = 2N_t*0.1 + N_t$
+  * $N_{t + 0.1} = 40 * 0.1 + 20 $
+  * $N(0.1) = 24 $
-Podemos repetir isso para os próximos intervalos de tempo. Vamos ver como funciona no {{:exercicios:rlogo.png?30|}}.
+No tempo 0.2, temos que:
+  * $N_{0.1 + 0.1} - N_0.1 = 2N_0.1 * 0.1$
+  * $N_{0.1 + 0.1} = 2 * 24 *0.1 + 24$
+  * $N_{0.1 + 0.1} = 48 * 0.1 + 24 $
+  * $N(0.2) = 28.4 $
+E assim por diante ....
+$\lim\limits_{x \to \infty} f(x)$
+Note que quanto menor o intervalo de tempo que usamos melhor é a precisão da nossa aproximação, lembrando que $\Delta t -> 0 $
+Podemos repetir isso para os próximos intervalos de tempo no {{:exercicios:rlogo.png?30|}}.
 <code>
-# Lembre que dy/dt = f(y, t) no caso geral
+f <- function (N, t)
-# Vamos criar essa f:
+{
-f <- function (N, t) {
+        return (2*N)
-        return (2*N);
 }
 # No tempo inicial, N vale 20:
-N0 <- 20;
+N0 <- 20
 # O passo de tempo eh dt. Vamos rodar ateh tmax
 dt <- 0.1
-tmax <- 2;
+tmax <- 2
-euler <- function (f, N0, dt, tmax) {
+euler <- function (f, N0, dt, tmax)
+{
         # res vai retornar o vetor com todos os Ns
-        res <- NULL;
+        res <- NULL
-        N <- N0;
+        N <- N0
-        for (tempo in seq(0, tmax, dt)) {
+        for (tempo in seq(0, tmax, dt))
+        {
                 N <- N + f(N,tempo)*dt
                 res <- rbind(res, N)
@@ Linha 101: / Linha 128: @@
 # Examine a solucao numerica:
-numerica <- euler(f, N0, dt, tmax);
+numerica <- euler(f, N0, dt, tmax)
 x<- seq(0, tmax, dt)
 # A solucao correta da EDO:
-plot(x, 20*exp(2*x), typ='l', col='green');
+plot(x, 20*exp(2*x), typ='l', col='green')
 # Vamos comparar com a solucao numerica
-points(x, numerica, col='red', pch=4, ce=0.2);
+points(x, numerica, col='red', pch=4, ce=0.2)
 </code>
-A aproximação foi boa? Tente repetir o mesmo código com dt = 0.01 e compare.
+A aproximação foi boa? Tente repetir o mesmo código com dt = 0.01 e 0.001 e compare.
-===== Outra função simples =====
+====== Integração Numérica no R ======
+Não precisamos fazer todo o procedimento anterior para fazer a integração numérica no {{:exercicios:rlogo.jpg?20  |}}, existem soluções implementadas previamente que são muito mais eficientes e robusta que a nossa.
-Vamos pensar em outro caso, onde a taxa de variação instantânea é positiva e tende a zero quando o valor da nossa variável aproxima a um. Em outras aumenta muito quando o valor e pequeno e muito pouco quando o valor aproxima-se a um.
+Vamos integrar numericamente algumas equações usando o pacote //deSolve// e a função //ode//.
-$$ f(x)=f(x)* (1-f(x)) $$
-<code>
-'diff(f(t),t)=f(t)*(1-f(t));
-ode2(%,f(t),t);
-</code>
-Talvez não reconheça essa função, faça exponenciação de ambos os lados que ela parecerá mais simpática. Ela é a solução do exemplo anterior multiplicada por uma expressão que funciona como um freio que aperta mais forte conforme chega perto de um. Elá é a base dos modelos logísticos populacionais.
-====== Integração Numérica no R ======
-Vamos integrar numericamente algumas equações usando o pacote deSolve e a funçõa ODE.
 Antes de tudo precisa instalar e carregar o pacote. Para instalar você pode usar o menu do RGui ou pela linha de comando, digite:
@@ Linha 145: / Linha 160: @@
   *1. Primeiro criamos a função, com os seguintes parâmetros na função R:
      * o tempo, que depois definiremos com uma sequência numérica
-     * a situação inicial da variável indepente
+     * a situação inicial da variável independente
      * os parâmetros da equação diferencial
 <code>
@@ Linha 167: / Linha 182: @@
   plot(res.fy1[,1], res.fy1[,2], type="l", col="red",lwd=2, xlab="tempo", ylab="y")
 </code>
+Será que a função //ode// fez mágica? Ela apenas usa um método parecido com o de Euler, que vimos acima, para achar a solução numérica de uma ode.
 ===== Uma outra função simples =====
 Agora nossa equação é:
@@ Linha 201: / Linha 218: @@
   *1. $ \frac{dy}{dt} = y-y^2*f(t)$
-    * sendo: $f(t)= 2 + 0.2 sin(2\pi Mt)$;
+    * sendo: $f(t)= 0.01 + 0.01 sin(2\pi Mt)$;
     * M=15
   *2. $\frac{dn}{dt} = r(t)*n $
-    * sendo: $r(t)= 0 + 0.1 sin(2 \pi t)$
+    * sendo: $r(t)= 0.1 - 100 sin(2 \pi t)$
-Uma solução:
-<code>
-### primeiro caso
-fy3 <- function(time,y, parms)
-  {
-   n=y[1]
-   M=parms[1]
-   r=0.01+ 0.01*sin(2*pi* M *time)
-   dy.dt=n-n^2 * r
-   return(list(c(dy.dt)))
-  }
-y0 = 10
-prmt=c(M=1)
-st=seq(0.1,20,by=0.01)
-res.fy3= ode(y=y0,times=st, func=fy3,parms=prmt)
-plot(res.fy3[,1], res.fy3[,2], type="l", col="red",lwd=2, xlab="tempo", ylab="y")
-### segundo caso
-fy4 <- function(time,y, parms)
-  {
-   n=y[1]
-   rt= 0.1-100*(sin(2*pi*time))
-   dy.dt=rt*n
-   return(list(c(dy.dt)))
-  }
-y0 = c(.1)
-#prmt=c(M=1)
-st=seq(0.1,20,by=0.0001)
-res.fy4= ode(y=y0,times=st, func=fy4)
-plot(res.fy4[,1], res.fy4[,2], type="l", col="red",lwd=2, xlab="tempo", ylab="y")
-</code>