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--- alunos:2012:mawade:exec3 [2012/05/16 05:56] – [Exercício 1] mawade
+++ alunos:2012:mawade:exec3 [2024/01/09 18:19] (atual) – edição externa 127.0.0.1
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 ===== Exercício 2 =====
+Neste exercício, considerei a estimativa de $\lambda$ como sendo a média aritmética dos $\lambda$s calculados para o intervalo entre cada geração. Pode-se perceber que quanto maior for número de gerações usado para o cálculo da estimativa de $\lambda$, mais precisa será esta estimativa. Na realidade, as estimativas para número de gerações baixos (//i.e.// 2 ou 4) são muito pouco precisas se considerarmos uma análise para um intervalo de tempo total de 10 anos (fig.1). De fato, 8 gerações parece fornecer uma boa estimativa de $\lambda$, sendo que o uso de 10 gerações desviou um pouco mais, mas ainda permanece uma estimativa apropriada (fig.1).\\
+\\
+Entretanto, se usássemos quaisquer destes valores para prever o tamanho populacional de pardais nos 36 anos amostrados, perceberíamos que nenhuma das estimativas é apropriada. Na realidade, este modelo de crescimento populacional exponencial se mostraria inadequado (e na verdade ele sempre será para populações em condições naturais), visto que a população de pardais não cresceu indefinidamente ao longo do tempo. Ela na realidade parece oscilar (fig.2).
+{{ :alunos:2012:mawade:pop_projec-mdi-ex2.jpg?300 | Figura 1}}
+\\
+\\
+===== Exercicio 3 =====
+$ N_t= N_0e^{rt}$\\
+\\
+$ 2N_0=N_0e^{rt}$\\
+\\
+$ 2 = e^{rt}$\\
+\\
+$ln(2) = rt$\\
+$$t_{duplic} =\frac{ln(2)}{r}$$
+A função em R é:
+<code>t.duplic<-function(r) log(2)/r
+rs<-c(0.01,0.1,0.5,1)
+resp.ex3<-t.duplic(rs)
+resp.ex3
+</code>
+Gerando os seguintes resultados:\\
+\\
+$t_{duplic}|r=0.01 = 69.31$ \\
+\\
+$t_{duplic}|r=0.1 = 6.93$ \\
+\\
+$t_{duplic}|r=0.5 = 1.39$ \\
+\\
+$t_{duplic}|r=1 = 0.69$
+\\
+\\
+\\
+===== Exercício 4 =====
+  * **Preço total**
+    -Opção 1 = R$ 81.112,48
+    -Opção 2 = R$ 43.991,09
+  * ** Valor das prestações **
+    - R$ 811,12
+    - R$ 879,82
+  * ** Quantos carros a mais estarei pagando **
+    - 3 carros
+    - 1,42 carros
+  * ** Tempo de duplicação do valor dos carros **
+    - 63,01 meses ou 5.25 anos
+    - 99,02 meses ou 8.25 anos
+  * Pagar mais caro é inevitável quando se compra em prestações com juros. Na melhor das hipóteses pagamos quase 1,5 vezes o valor original do carro. Entretanto a segunda opção é mais vantajosa, pois apesar do valor inicial ser maior e de se pagar prestações um pouco maiores, paga-se menos pelo carro. O tempo de duplicação do valor do carro é maior que na opção 2. \\
+\\
+\\
+\\
+===== Exercício 5 =====
+  * Neste exercicio, simulei para as condições iniciais: $N0 = 10$, $\hat r = 0.3$ e $\sigma_{\hat r} = 0.01, $t_max 0.06, 0.12, 0.17, 0.23, 0.28, 0.34, 0.39, 0.45, 0.50$. Repeti cada simulação para 10 e para 1000 realizações ({{:alunos:2012:mawade:mdi-ex5.r| Código em R}}). \\
+\\
+\\
+{{ :alunos:2012:mawade:nrep-10_med-1sd.jpg?500 |}}\\
+**Para 10 realizações (pontos = média $Nt$, barras = +/- 1 desvio padrão) **
+\\
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+{{ :alunos:2012:mawade:nrep-1000_med-1sd.jpg?500 |}}\\
+**Para 1000 realizações (pontos = média $Nt$, barras = +/- 1 desvio padrão) **
+  * Como podemos perceber, essa afirmação não está correta se houver estocasticidade ambiental. Considerando que a taxa de crescimento ($r$) varia ao longo do tempo de acordo com uma distribuição normal, quanto maior for o desvio padrão de $r$ mais incerta será a predição do tamanho populacional em qualquer $t$. Além disso, o desvio padrão do tamanho populacional aumenta com o tempo, indicando que há uma probabilidade da população se extinguir em qualquer tempo. Esta probabilidade aumenta com o passar do tempo e será tão maior para um dado tempo $t$, quanto maior for o desvio padrão de $r$. \\
+==== ====
+Um outro padrão interessante é que a média (e consequentemente o desvio padrão) de $Nt$ será pior estimada quanto menor for o número de realizações (//i.e.// réplicas) de cada simulação. O que se espera é que a média do tamanho populacional num tempo qualquer seja igual à média esperada pelo modelo determinístico. Em outras palavras, como a média de $r$ é igual ao $r$ do modelo determinístico, depois de muitas simulações, a média de $r$ e portanto de $Nt$ serão iguais às do modelo determinístico. Se o número de realizações da simulação for pequeno, teremos um outro erro associado à estimativa dos parâmetros.