Diferenças

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--- alunos:2012:mawade:exec [2012/05/13 02:07] – [II) INTEGRAL] mawade
+++ alunos:2012:mawade:exec [2024/01/09 18:19] (atual) – edição externa 127.0.0.1
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-Existem algumas poucas regras de derivação que facilitam o cálculo da derivada da grande maioria das funções. Essas regras, expostas em aula, serão usadas para o cálculo das derivadas abaixo.
+Existem algumas poucas regras de derivação que facilitam o cálculo da derivada da grande maioria das funções. Essas regras, expostas em aula, serão usadas para o cálculo das derivadas abaixo.\\
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 ===== Derivadas na unha =====
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 === 2) Gráficos das funções e suas respectivas derivadas ===
 {{:alunos:2012:mawade:e1.pdf|Graficos}}\\
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 {{:alunos:2012:mawade:derivadas-codE1.r|Codigo em R para os gráficos}}
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   * **2)** Os gráficos da profundidade e da inclinação do terreno são apresentados abaixo. Entretanto, parece-me que há um erro aqui, o qual não consegui resolver. Se assumirmos que o gráfico da função $PR(d)$ está correto, eu esperaria que sua derivada fosse nula ($I(d)= 0$) em algum ponto nas proximidades de $d = 4$ ou de $d = 5$. **Porém isso não ocorre**. \\
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-{{ :alunos:2012:mawade:e2.jpg?650 |Graficos}}
+{{ :alunos:2012:mawade:e2.jpg?500 |Graficos}}
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 Verfiquei se a função estava errada ou se a plotagem usando o //predict// do modelo coincidia com o da minha função, e esse não foi o problema. De todo mode, com base nesses gŕaficos algumas relações podem ser estabelecidas. Primeiro é que em média. Isso poderia ser verificado encontrando-se a média das inclinações no intervalo de distância considerado. Ou seja, calcula-se a integral de $I(d)$ definida nos pontos de observação e divide-se o resultado dessa operação por $\Delta d$. Se o resultado de toda essa operação for menor que 0, sabemos que a tendência é do terreno se tornar mais profundo conforme percorremos o terreno da costa para o mar.
-$$ \frac{\int _0^5 I(d)d(d)}{\Delta d }= \frac{\int _0^5 I(d)d(d)}{5}<0$$
+$$ \frac{\int _0^5 I(d)dd}{\Delta d }= \frac{\int _0^5 I(d)dd}{5}<0$$
 Entretanto, o terreno é irregular, ou seja a inclinação não é constante ao longo do tempo, mas varia não linearmente, com momentos em que cresce ao longo de $d$ e momentos em que decresce. Isso implica que há "vales" e "topos" no gráfico do perfil do terreno, sendo que no ponto mais baixo de um "vale" e no pontos mais alto de um "topo" $I(d)=0$. Isso se convencionou chamar de máximos e mínimos locais. Para saber se um ponto em que $I(d)=0$ serefere a um máximo ou mínimo local, deve-se calcular a segunda derivada de $PR(d)$. O ponto será um mínimo local se
-$$ \frac{d^2}{d(d)}PR(d)>0$$
+$$ \frac{\delta^2}{\delta d^2}PR(d)>0$$
 Por lado, o ponto será de máximo local se
-$$ \frac{d^2}{d(d)}PR(d)<0$$
+$$ \frac{\delta^2}{\delta d^2}PR(d)<0$$
 Por fim, vale ressaltar que quanto mais profundo o terreno, menos luz ele receberá. Além disso, dado que o sol nasce em leste, as faces voltadas para oeste estarão mais sombreadas ao longo do dia pelo formato do relevo. Então, dada uma certa profundidade, as faces voltadas para leste receberão mais luz solar em comparação com as faces oeste de terreno. As faces leste correspondem a pontos do terreno cuja inclinação é negativa, enquanto que inclinações positivas definem as faces leste.
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-  * **3)** Espero encontrar mais baleias em locais entre 1 e 5km da costa e com inclinação negativa do terreno (fig.1). Infelizmente não consegui calcular desigualdades no Maxima, tampouco achar a solução de equações polinomiais de graus elevados. No entanto não olhei o deSolve para R. Desta forma, representei essa localização aproximadamente na figura abaixo. A base dos quadrilateros azuis (fig.2) indica a faixa de distância em que se espera encontrar a maior proporção de baleias. \\
+  * **3)** Espero encontrar mais baleias em locais entre 1 e 5km da costa e com inclinação negativa do terreno (fig.1). Infelizmente não consegui calcular desigualdades no Maxima, tampouco achar a solução de equações polinomiais de graus elevados. No entanto não olhei o deSolve para R. Desta forma, representei essa localização aproximadamente na figura abaixo. A base dos quadrilateros azuis (fig.2) indica a faixa de distância em que se espera encontrar a maior proporção de baleias. Estes valores foram estimados nas faixas entre 0.89 - 1.31 e 2.16 - 2.76 $km$ da costa.  \\
 {{ :alunos:2012:mawade:baleias.jpg?400 |fig.1}}\\
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+//{{:alunos:2012:mawade:derivadas-code2.r|Codigos em R}} do Exercício 2!!!//
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-====== II) INTEGRAL ======
-A integral indefinida ou antiderivada de uma função é uma operação que resulta na função cuja derivada é a função integrada. Simbolicamente, pode-se representar a integral indefinida de seguinte forma:
-$$ \int g(x)dx$$
-Se $ g(x) = f'(x)$, então
-  * $$ \int f'(x)dx = f(x)$$
-Já se definirmos um intervalo de $x$ (por exemplo $x∈[a,b]$) para o qual queremos calcular a integral, obtemos uma integral definida. Esta operação que será igual à somatória da integral em cada ponto do intervalo, o que corresponde à área sob uma determinada curva. Simbolicamente a integral definida é representada como:
-  * $$ \int _a^b f'(x)dx = \int ^b f'(x)dx - \int ^a f'(x)dx = f(b) - f(a)$$
-Isso é o que temos (além de umas poucas regras básicas dadas em aula) para calcular as integrais do exercício 1, cujas soluções encontram-se abaixo.
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-===== Exercício 1 =====
-===a) $ \int \sin(x) dx$===
-$ f(x) = \int f'(x)dx $\\
-==Resp: $ \int \sin(x) dx=-\cos(x) + K$==
-=== ===
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-===b) $ \int x^2 +1 dx$===
-$ f(x) = \int f'(x)dx $\\
-$ f'(x) = g(x)+h(x)$ então,\\
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-$ \int g(x) + h(x)dx = \int g(x)dx +\int h(x)dx = \int x^2dx +\int 1dx = \int x^2dx + x$\\
-==Resp: $\int x^2 +1dx = \frac{x^3}{3} + x+K $==
-=== ===
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-===c) $ \int _0^1 \cos (x) dx$===
-$ \int _0^1 f'(x)dx = \int ^1 f'(x)dx - \int ^0 f'(x)dx = \int ^1 \cos(x)dx - \int ^0 \cos(x)dx$\\
-\\
-$ \sin(1)-\sin(0)$
-==Resp: $\int _0^1 \cos (x) dx = \sin(1) $==
-=== ===
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-===d) $ \int _{-1}^5 x^3 +2x dx$===
-$\int x^3 +2x dx = \int x^3dx + \int 2xdx = \frac{x^4}{4} + x^2$\\
-$\int ^5 x^3 +2x dx - \int ^{-1} x^3 +2x dx =  (\frac{5^4}{4} + 5^2) - (\frac{-1^4}{4} + (-1)^2)$\\
-==Resp: $ \int _{-1}^5 x^3 +2x dx = 180 $==
-=== ===
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-===e) $ \int _1 ^ \infty \frac{1}{x^2}dx$===
-$ \int \frac{1}{x^2}dx = \int x^{-2}dx = \frac {x^{-1}} {-1} = - \frac {1}{x}$\\
-$ \int _1 ^ \infty \frac{1}{x^2}dx = \int ^ \infty \frac{1}{x^2}dx - \int ^ 1 \frac{1}{x^2}dx = - \frac{1}{\infty} + 1$\\
-\\
-Considerando que $ \frac{1}{\infty} ≅ 0$
-==Resp: $ \int _1 ^ \infty \frac{1}{x^2}dx = 1 $==
-=== ===
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-===f) $ \int _0 ^ 1 \sin ( x^{27} ) dy $ (cuidado, pegadinha!)===
-Como estamos integrando em $y$,\\
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-$ \int \sin ( x^{27} ) dy = \sin ( x^{27} ) \int dy = \sin ( x^{27} )y$\\
-$ \int _0 ^ 1 \sin ( x^{27} ) dy = \sin ( x^{27} ) \int ^1 dy - \sin ( x^{27} ) \int ^0 dy = \sin ( x^{27} ) - 0$\\
-==Resp: $ \int _0 ^ 1 \sin ( x^{27} ) dy = \sin ( x^{27} ) $==
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-As soluções para essas integrais podem ser visualizadas no aplicativo Maxima pelo arquivo abaixo:\\
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-  *{{:marcelo:Atividades Academicas:Disciplinas:BIE-5786:Exercicio2.wxm|Exercicio2.wxm}}
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-=====Exercício 2 =====
-====== III) EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINARIAS (ODE)======