===== I.2. Sensibilidade e Elasticidade =====

Um instrumento importante nas análises matriciais é entender como as probabilidades de transição e permanência de cada classe afeta o crescimento da população. Saber quais as taxas vitais que são mais importantes para a estabilização da população ou para o seu crescimento é uma ferramenta poderosa, tanto para o entendimento de diferentes estratégicas de história de vida como para o manejo de populações ameaçadas ou para o uso sustentável de recursos vegetais. Ambos os parâmetros medem a contribuição de cada elemento da matriz de transição para a composição do lambda. Entretanto, a sensibilidade mede a contribuição absoluta, enquanto a elasticidade é uma medida relativa dessa contribuição. 
Nesse exercício vamos utilizar um método intuitivo (perturbação da matriz) para o cálculo da contribuição para a taxa de crescimento de cada probabilidade na matriz. Esse método é chamado por alguns autores como “the easy brute force method”. Existem métodos mais robustos e com respostas mais exatas, mas os cálculos são mais complexos e menos intuitivos (veja o texto da leitura obrigatória dessa aula).  

Basicamente, o que faremos é variar um pouco cada um dos valores da matriz de transição de cada vez e ver como a taxa de crescimento assintótica se modifica. Uma recomendação para o método é perturbar os elementos da matriz em 5% (ou menos) e comparar com a variação ocasionada no lambda. Vamos fazer isso para a matriz de //Coryphanta robbinsorum// e depois aplicar para a população do palmito (abra as planilhas :  {{:mod1:mat_apoio:cactus2010.xls|Cactus}} e {{:mod1:mat_apoio:palmitos2010.xls|Palmitos}}

==== 1. Elasticidade e Sensibilidade da população de Coryphanta robbinsorum ====

  ***1.1.** Copie a matriz da população do cactus //Coryphantha robbinsorum// e cole na mesma planilha logo abaixo. Refaça os passos de multiplicação da matriz como no exercício 1, tanto para a matriz original quanto para a cópia até a estabilização do lambda. 
  * **1.2.** Na cópia, produza uma perturbação na probabilidade de permanência na classe 1 de 5% : coloque na célula correspondente a fórmula “ ==C4*0.95”, sendo C4 a permanência na matriz original. Projete a população até a estabilização do lambda.
  * **1.3.** Divida as diferenças dos lambdas pela diferença dos dois valores da permanência na classe 1 (perturbado  original ) . Pronto: calculamos a Sensibildade da probabilidade de permanência na classe 1:

 <m 14> S_{1,1}= (\lambda_{1,1} -  \lambda_orig) / (a_perturb_{1,1}- a_origin_{1,1}) </m> 

  * **1.4.** Para o cálculo da elasticidade é só dividir cada diferença da fórmula acima pelo valor original para que as diferenças sejam expressas em proporção. Uma alternativa é mutiplicar o valor de Sensibilidade pela razão:


<m 14> a_orig_{1,1} / \lambda_orig </m> 



Portanto, temos a elasticidade como:


<m 14> E_{1,1}= S_{1,1}  *   (a_orig_{1,1}/ \lambda_orig) </m>


   * **1.5.** Faça isso para cada um dos elementos da matriz de transição independentemente e produza uma tabela com os valores de elasticidade e sensibilidade.  Lembre-se que ao perturbar um elemento da matriz, os outros devem estar com seu valor original.  
 
{{:mod1:mat_apoio:tela3.png? 600|}}

==== 2. Elasticidade e Sensibilidade na população de Palmito ====

   * **2.1.** Qual o ponto vulnerável da população de palmitos? Escolha os dois elementos da matriz de palmito que lhe parecem o mais importante e o menos importante para a viabilidade desta população. Calcule a sensibilidade e a elsaticidade destes dois elementos. 



<box 80%| CURIOSIDADE: estudo de elasticidade em populações de baleias>
Esta é pra você que gosta mais dos bichos. Há um trabalho muito bacana do Caswell com uma população de baleias. É um ótimo exemplo de aplicação da elasticidade. Para acessar o artigo na íntegra entre em [[http://ecologia.ib.usp.br/bie5786/lib/exe/fetch.php?media=bie5786:nature2001fujiwara.pdf]].
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