/* [wxMaxima batch file version 1] [ DO NOT EDIT BY HAND! ]*/ /* [ Created with wxMaxima version 0.8.4 ] */ /* [wxMaxima: title start ] Modelo de Metapopulação com Competição Dedução dos Valores em Equilíbrio [wxMaxima: title end ] */ /* [wxMaxima: section start ] Preparação [wxMaxima: section end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Para este tutorial precisaremos do pacote ineq, para manipular desigualdades. Para isto carregamos o pacote: [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ load("ineq.mac"); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: section start ] Dedução [wxMaxima: section end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Partimos do modelo de metapopulações com colonização interna para definir a variação instantânea no tempo da fração de manchas ocupadas pela espécie competitivamente inferior como [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ i2*f2*(1-f1-f2)-e*f2-i1*f1*f2; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Onde: f1 e f2 é as frações de manchas ocupadas pela espécie 1 e 2, respectivamente ii e i2 são os coeficientes da relação linear entre probabilidade de colonização e fração de manchas ocupadas e é a taxa de extinção, que é a mesma para as duas espécies. A proporção de manchas ocupadas pela espécie 2 em equilíbrio é o valor de f2 para o qual não há mais variação no número de manchas ocupadas, ou seja, para o qual a derivada df2/dt=0. Portanto, para encontrar a expressão para este valor, igualamos a equação acima a zero e resolvemos para f2: [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ solve([%], [f2]); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Há duas soluções, mas uma é a trivial em que não há manchas ocupadas pela espécie 2 (pense bem, esta é uma condição de equilíbrio neste modelo). Vamos reter a outra para estudá-la: [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ %[1]; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Esta solução depende também de f1, que é a fração de manchas ocupadas pela espécie competitivamente superior. Portanto, buscamos a situação em que as duas quantidades, f1 e f2, não variem com o tempo. A equação para a espécie 1 é o modelo já conhecido de metapopulação com colonização interna. O valor de equilíbrio de f1 não depende de f2, sendo 1-e/i1. Substituindo f1 por este valor na equação acima temos: [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ subst(1-e/i1, f1, %); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] E agora é apenas manipulação algébrica. Aqui primeiro simplificamos e depois expandimos esta equação. [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ ratsimp(%); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ expand(%); /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Para saber quais as condições para que f2>0 temos: [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ e/i1-i1/i2>0; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] E agora podemos expressar esta desigualdade como a relação entre as frações qua a compõem, adicionando i1/12 aos dois lados: [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ %+i1/i2; /* [wxMaxima: input end ] */ /* [wxMaxima: comment start ] Ou isolar o termo i1 de um lado, multiplicando os dois lados por i1.i2: [wxMaxima: comment end ] */ /* [wxMaxima: input start ] */ (i1*i2)*%; /* [wxMaxima: input end ] */ /* Maxima can't load/batch files which end with a comment! */ "Created with wxMaxima"$